Desenhe os gráficos de f e f ∘ f .

f x = x + 1 ,     - 2 ≤ x < 0 x - 1 ,     0 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Para obter os gráficos das funções f e da composta de f com ela mesma será utilizado softwares. Entretanto, precisamos ter bastante cuidado quando tratamos da função composta f ∘ f . Imagem duas funções g ( x ) e h ( x ) . Se fizermos a composta g ∘ h , sabemos que:

  • O domínio de h ( x ) é o domínio de g ∘ h ;
  • A imagem de g ( x ) é a imagem de g ∘ h ;
  • A imagem de h ( x ) é o domínio de g ( x ) ;

É neste exato último ponto que devemos ter cuidado. Precisamos analisar o comportamento da imagem de f ( x ) , pois é ela quem será o domínio da própria f ( x ) (Confuso né? Imagina que a função interna vai ditar o domínio da mais externa).

Passo 2

Vamos começar por esboçar o gráfico da função f ( x ) .

Detalhe para a bola aberta no final da reta x + 1 , pois o intervalo é aberto na extremidade x = 0 .

Passo 3

Antes de esboçarmos o gráfico de f ∘ f , vamos obtê-lo algebricamente. Vamos começar por obter no gráfico da função f ( x ) os intervalos tais que - 2 ≤ f x < 0 (a imagem da função vira o domínio da outra). Como pode ser observado facilmente, quando - 2 ≤ x < - 1 e 0 ≤ x < 1 , esta restrição é satisfeita. Sendo assim, quando - 2 ≤ x < - 1 teremos:

f x + 1 = x + 1 + 1 = x + 2

E quando 0 ≤ x < 1 teremos:

f x - 1 = x - 1 + 1 = x

Já nos intervalos - 1 ≤ x < 0 e 1 ≤ x ≤ 2 , temos 0 ≤ f x ≤ 2 . Consequentemente, para - 1 ≤ x < 0 teremos:

f x + 1 = x + 1 - 1 = x

E para 1 ≤ x ≤ 2 teremos:

f x - 1 = x - 1 - 1 = x - 2

Logo, podemos escrever a seguinte função f ∘ f :

f ∘ f = x + 2 ,     - 2 ≤ x < - 1 x ,     - 1 ≤ x < 0 x ,     0 ≤ x < 1 x - 2 ,     1 ≤ x ≤ 2

Passo 4

Se esboçarmos a função f ∘ f definida algebricamente no passo anterior, obtemos:

Resposta

Gráfico de f ( x ) :

Gráfico de f ∘ f

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