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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.4 - Ex. 13

Desenhe as lemniscatas nos Exercícios 13-16. Quais simetrias essas curvas têm?

r 2 = 4 cos ⁡ 2 θ

Passo 1

Olá pessoal. Para fazermos curvas polares complicadas, iremos precisar de uma calculadora gráfica ou computador. Se o dispositivo não representa gráficos polares diretamente, podemos converter r = ƒ(u) para a forma paramétrica utilizando as equações:

x = r cos ⁡ θ = f θ cos ⁡ θ ,           y = r sen ⁡ θ = f θ sen ⁡ θ

Em seguida, utilizamos o dispositivo para desenhar uma curva parametrizada no plano cartesiano x y . Pode ser necessário utilizarmos o parâmetro t em vez de θ para o dispositivo de representação gráfica.

Exemplo: curva lemniscata r 2 = sen ⁡ 2 θ :

  1. Primeiramente esboçamos o gráfico r 2 = sen ⁡ 2 θ no plano r 2 θ e ignoramos os valores de θ para os quais sen ⁡ 2 θ é negativo:

  2. Agora iremos esboçar o gráfico de r = f θ no plano cartesiano r θ :

  3. E em seguida desenhamos o gráfico polar:

Passo 2

Porém podemos utilizar o programa computacional WolframAlpha, onde conseguimos obter o seguinte gráfico:

Pelo gráfico podemos observar que há simetria no eixo x , eixo y e na origem.

Resposta

Resposta no Passo 2.

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Use os gráficos de x = f ( t ) e y = g ( t ) para esboçar a curva parametrizada x = f ( t ) e y = g ( t ) . Indique com setas a direção na qual a curva é traçada quanto t aumenta.
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Encontre a inclinação da reta tangente à curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ . r = 1 θ θ = π
Encontre a inclinação da reta tangente à curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ . r = cos ⁡ 2 θ , θ = π / 4