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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.2 - Ex. 45

  1. Desenhe os vetores a = < 3,2 > ,   b = < 2 , - 1 > e   c = < 7,1 > .
  2. Mostre, por um esboço, que existem escalares s e t tais que c = s a + t b
  3. Use o esboço para estimar os valores de s e t .
  4. Determine os valores exatos de s e t .

Passo 1

  1. Desenhando os vetores a = < 3,2 > ,   b = < 2 , - 1 > e   c = < 7,1 > :

    2. Passo 2

  2. Pelo desenho, podemos ver que s a é algum escalar múltiplo do vetor a , e t b é um escalar múltiplo do vetor b . E com eles podemos formar um paralelogramo que tem c com diagonal, então c = s a + t b , para algum escalar s e t :

    3. Passo 3

  3. Do esboço na parte (b), parece que s = 4 / 3 pois s parece ser um terço maior que a . Da mesma forma, parece que t = 3 / 2 , porque também parece ser 0,5 maior que b .

    4. Se de fato s = 4 3 e t = 3 2 , então s a + t b = 4 3 3,2 + 3 2 2 , - 1 = 4 , 8 3 + 3 ,   - 3 2 = 7 , 7 6

    Como podemos ver, esse não é exatamente o vetor c , mas está bem próximo e tudo bem, pois aqui estamos apenas fazendo uma aproximação. O valor exato calcularemos no próximo item.

    Passo 4

  4. Agora vamos calcular os valores exatos de s e t :

c = s a + b t

7,1 = s 3,2 + 2 , - 1 t

7 = 3 s + 2 t

1 = 2 s + ( - t )

t = 2 s - 1

7 = 3 s + 2 ( 2 s - 1 )

7 = 3 s + 4 s - 2

s = 9 / 7

t = 18 7 - 1 = 11 7

Então, s = 9 7 e t = 11 7 .

Resposta

(c) s = 4 3 ,   t = 3 2

(d) s = 9 7 ,   t = 11 7

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