Para cada um dos pares de vetores u → e v → , encontrar a projeção ortogonal de v → sobre u → e decompor v → como soma de v → 1 com v → 2 , sendo v → 1 | | u → e v → 2 ⊥ u → . u → = 1,2 , - 2 e v → = 3 , - 2,1

v → 1 = - 1 3 , - 2 3 , + 2 3 e v → 2 = 10 3 , - 4 3 , 1 3

Enunciado

Vamos ver o que é uma projeção ortogonal:

Sejam os vetores e não nulos e o ângulo entre eles, podemos decompor um dos vetores, digamos , tal que:

Sendo e .

O vetor é chamado projeção ortogonal de sobre e indicado por:

Podemos calcular a projeção ortogonal de sobre da seguinte forma:

Vamos então calcular a projeção primeiro.

Vamos calcular usando:

Aqui vamos calcular os produtos escalares separadamente:

Agora é só substituir:

Pronto, achamos .

Para achar é simples, é só usar a expressão:

Vamos substituir os vetores:

Pronto, achamos a decomposição de em e .