Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 42a

Para cada um dos pares de vetores u → e v → , encontrar a projeção ortogonal de v → sobre u → e decompor v → como soma de v → 1 com v → 2 , sendo v → 1 | | u → e v → 2 ⊥ u → .

u → = 1,2 , - 2 e v → = 3 , - 2,1

Passo 1

Vamos ver o que é uma projeção ortogonal:

Sejam os vetores u → e v → não nulos e θ o ângulo entre eles, podemos decompor um dos vetores, digamos v → , tal que:

v → = v → 1 + v → 2

Sendo v → 1 ∥ u → e v → 2 ⊥ u → .

O vetor v → 1 é chamado projeção ortogonal de v → sobre u → e indicado por:

v → 1 = p r o j u → v →

Podemos calcular a projeção ortogonal de v → sobre u → da seguinte forma:

p r o j u → v → = v → ⋅ u → u → ⋅ u → u →

Vamos então calcular a projeção primeiro.

Passo 2

Vamos calcular p r o j u → v → usando:

p r o j u → v → = v → ⋅ u → u → ⋅ u → u →

Aqui vamos calcular os produtos escalares separadamente:

v → ⋅ u → = 3 , - 2,1 ⋅ 1,2 , - 2 = 3 ⋅ 1 + - 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ - 2 = 3 - 4 - 2 = - 3

u → ⋅ u → = 1,2 , - 2 ⋅ 1,2 , - 2 = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + - 2 ⋅ - 2 = 1 + 4 + 4 = 9

Agora é só substituir:

p r o j u → v → = v → ⋅ u → u → ⋅ u → u → = - 3 9 1,2 , - 2 = - 1 3 1,2 , - 2 = - 1 3 , - 2 3 , + 2 3 = v → 1

Pronto, achamos v → 1 .

Passo 3

Para achar v → 2 é simples, é só usar a expressão:

v → = v → 1 + v → 2

Vamos substituir os vetores:

v → = v → 1 + v → 2 → v → 2 = v → - v → 1 → v → 2 = 3 , - 2,1 - - 1 3 , - 2 3 , + 2 3 →

→ v → 2 = 3 - - 1 3 , - 2 - - 2 3 , 1 - 2 3 → v → 2 = 3 + 1 3 , - 2 + 2 3 , 3 - 2 3 →

→ v → 2 = 9 + 1 3 , - 6 + 2 3 , 1 3 → v → 2 = 10 3 , - 4 3 , 1 3

Pronto, achamos a decomposição de v → em v → 1 e v → 2 .

Resposta

v → 1 = - 1 3 , - 2 3 , + 2 3 e v → 2 = 10 3 , - 4 3 , 1 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

17.Sejam ABCD um quadrilátero, O ponto qualquer e P o ponto médio que une os pontos médios da diagonais A C e B D .Prove que 4 O P → = O A → + O B → + O C → + O D →
11.Resolva os sistemas nas incógnitas x →ey → : a ) x → + 2 y → = u →3 x → - y → = 2 u → + v → b) x → + y → = u → - 2 v → x → - y → = 3 u →
16.. Sendo M o ponto médio de A C , N o de BD ex → = A B → + A D → + C B → + C D → , prove que x ∥ M N →
Prove que: P + 0 → = P b) P + u → = P ⇒ u → = 0 → c) P - 0 → = P
4.Prove que A + u → - u → = A