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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 35

Mostrar que existe vetor cujos ângulos diretores são 30 ° , 90 ° e 60 ° , respectivamente, e determinar aquele que tem módulo 10 .

Passo 1

Vamos analisar os ângulos diretores, em relação aos vetores diretores temos que os cossenos diretores de um vetor v → são os componentes do versor de v → :

v → v → = x , y , z v → = x v → , y v → , z v → = cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ

E como o versor é um vetor unitário, temos que as somas dos quadrados dos ângulos devem ser iguais a zero:

cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 1

Passo 2

Vamos então substituir os ângulos e ver se temos um resultado igual a 1 :

cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 1 → cos 2 ⁡ 30 ° + cos 2 ⁡ 9 0 ° + cos 2 ⁡ 6 0 ° = 1 →

→ 3 2 2 + 0 2 + 1 2 2 = 1 → 3 4 + 0 + 1 4 = 1 → 4 4 = 1 → 1 = 1

Pronto, mostramos que existe um vetor cujos ângulos diretores são 30 ° , 90 ° e 60 ° .

Passo 3

Agora vamos achar o vetor, temos que os ângulos diretores de v → são os ângulos α , β e γ que v → forma com os vetores i → , j → e k → , respectivamente.

Para calcular eles usaram as seguintes fórmulas:

cos ⁡ α = v → ⋅ i → v → i →

cos ⁡ β = v → ⋅ j → v → j →

cos ⁡ γ = v → ⋅ k → v → k →

Então para determinar v → = x , y , z vamos substituir nas três fórmulas, e assim vamos encontrar cada coordenada de v → .

Passo 4

Primeiro vamos calcular os produtos vetoriais, lembrando que produto escalar de dois vetores u → = x 1 , y 1 , z 1 e v → = x 2 , y 2 , z 2 , representado por u → ⋅ v → , é o número real encontrado pela seguinte soma:

u → ⋅ v → = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

Vamos aplicar agora na nossa questão:

v → ⋅ i → = x , y , z ⋅ 1,0 , 0 = x ⋅ 1 + y ⋅ 0 + z ⋅ 0 = x + 0 + 0 = x

v → ⋅ j → = x , y , z ⋅ 0,1 , 0 = x ⋅ 0 + y ⋅ 1 + z ⋅ 0 = 0 + y + 0 = y

v → ⋅ k → = x , y , z ⋅ 0,0 , 1 = x ⋅ 0 + y ⋅ 0 + z ⋅ 1 = 0 + 0 + z = z

Passo 5

Agora vamos encontrar os módulos dos vetores, para calcular o módulo de um vetor u → = x , y , z vamos usar a fórmula tirada pelo Teorema de Pitágoras:

u → = x 2 + y 2 + z 2

Pronto, vamos então aplicar essa fórmula para calcular os módulos:

v → = 10

i → = 1 2 + 0 2 + 0 2 = 1 = 1

j → = 0 2 + 1 2 + 0 2 = 1 = 1

k → = 0 2 + 0 2 + 1 2 = 1 = 1

Passo 6

Pronto, agora é só substituir nas fórmulas do passo 1 e encontramos as coordenadas:

cos ⁡ α = v → ⋅ i → v → i → → cos ⁡ 30 ° = x 10 ⋅ 1 → 3 2 = x 10 → x = 5 3

cos ⁡ β = v → ⋅ j → v → j → → cos ⁡ 9 0 ° = y 10 ⋅ 1 → 0 = y 10 → y = 0

cos ⁡ γ = v → ⋅ k → v → k → → cos ⁡ 6 0 ° = z 10 ⋅ 1 → 1 2 = z 10 → z = 5

Pronto, assim temos que v → = 5 3 , 0 , 5 .

Resposta

v → = 5 3 , 0,5

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