Determina a região cuja área é igual ao determinado limite. Não avalie o limite.

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 3 n 1 + 3 i n

Passo 1

Oie, tudo bem? Vamos resolver essa atividade juntinhos.

Dado seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 3 n 1 + 3 i n

Precisamos encontrar qual área esse limite representa, pois essa forma de representar um limite é a área abaixo de uma curva.

Vamos lá, a integral, que é considerada a área sob uma curva, pode ser tamb��m escrita como:

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∆ x ∑ i = 1 n f a + i ∆ x

Onde :

∆ x = b - a n

Passo 2

Vamos manipular um pouco o limite que temos:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 3 n 1 + 3 i n = lim n → ∞ ⁡ 3 n ∑ i = 1 n 1 + 3 i n

Fazendo uma comparação com o termo geral:

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∆ x ∑ i = 1 n f a + i ∆ x

∆ x = 3 n

E podemos dizer que:

a = 1

Vamos agora achar b :

∆ x = b - a n

3 n = b - 1 n

b = 4

E por último temos que:

f x = f a + i ∆ x

f x = x

Passo 3

Pronto, vamos agora montar:

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∆ x ∑ i = 1 n f a + i ∆ x

3 n lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 + 3 i n = ∫ 1 4 x d x

Assim, a soma representa a área abaixo da curva x e acima do eixo x no intervalo x ∈ 1,4 .

Resposta

A soma representa a área abaixo da curva x e acima do eixo x no intervalo x ∈ 1,4 .

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