Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 20
Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta por diferenciação.)
Passo 1
Fala aí. Tudo certinho por aí?
Bom, essa questão dá pra gente a função
E pede pra gente encontrar sua antiderivada mais geral.
Para isso, precisamos lembrar que a antidevada é o processo inverso da derivação.
Então, sabemos que uma função é chamada de antiderivada de em um intervalo se:
para todo em .
E se é uma antiderivada de nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de em é:
onde é uma constante qualquer.
Pronto, então para achar a antiderivada, temos que achar uma função que derivando nós encontramos .
Passo 2
Primeiro vamos manipular a função colocando a raíz para o numerador:
E jogando para o numerador, teremos:
Vamos olhar termo por termos e pensar na função, que ao ser derivada resulta no que temos em cada um deles.
Passo 3
Começando pelo primeiro termo, o
Perceba que ele é uma constante, e a derivada que resulta em uma contante, é a derivada de
Assim, a antidevidade de será .
Agora vamos olhar pra o termo
Lembrando que a derivada que resulta em é
E olhando para
Temos uma potência e para procurar sua antiderivada, fazemos a regra ao contrário. Assim:
Assim, teremos:
Agora vamos encaixar cada um desses resultados.
Passo 4
Lembrando que tínhamos,
Sua antiderivada será:
E arrumando tudo direitinho, ficamos com:
E assim, teremos:
Passo 5
Vamos agora checar, para isso temos que derivar termo a termo:
Organizando:
Pronto, tá tudo certo!