Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 31
Numa determinada vila, a taxa segundo a qual um boato se espalha é conjuntamente proporcional ao número de pessoas que ouviram o boato e ao número de pessoas que não ouviram. Mostre que o boato está sendo espalhado com velocidade máxima quando a metade da população da cidade já escutou.
Passo 1
Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:
- Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
- Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a e os valores onde ela não existe.
- A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.
Passo 2
Vamos devagarinho, começar definindo o que queremos achar e os parâmetros que precisamos definir. Seja o total de pessoas na cidade e a quantidade de pessoas que já ouviram a boato, vamos chamar a taxa a qual o boato se espalha . Se o total de pessoas que ouviu o boato é , a quantidade de pessoas que não ouviu é . A questão também disse que é conjuntamente proporcional a e , ou seja:
Essa é a nossa função! E como a quantidade de pessoas que sabe o boato pode ser de a pessoas: . E pelo teorema do valor extremo já conseguimos ver que o máximo de estará no interior do intervalo de , já que e .
Passo 3
Agora vamos escrever de um jeito mais legal pra derivar:
Derivando:
Agora igualando a encontraremos o valor de que representa a taxa máxima de fofoca da cidade:
Que é exatamente o que queríamos mostrar! A taxa máxima de “espalhamento” do boato acontece quando metade da população sabe do boato.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)