Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 6
Qual é a distância vertical mínima entre as parábolas e ?
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar distância vertical mínima entre as parábolas e .
Se a gente chamar essa distância vertical de , teremos o seguinte:
Onde é a ordenada da parábola e é a da parábola . Portanto,
Ou seja:
Usando essa equação, nós conseguimos determinar o mínimo valor de através do teste da primeira derivada (derivando e igualando o resultado a zero para encontrar os pontos críticos da função.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando a nossa função , usando a regrinha da potência ():
Assim, temos:
Para acharmos os pontos críticos da função, vamos igualar esse resultado a zero:
E isolando , encontramos:
Como é uma parábola com concavidade para cima, é um ponto de mínimo, porque é o único ponto onde a nossa derivada zera.
Passo 3
Agora é só achar o para saber o valor da distância nesse ponto:
Fazendo as contas, temos:
Então, a distância vertical mínima entre as parábolas será .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉