Qual é a distância vertical mínima entre as parábolas y = x 2 + 1 e y = x - x 2 ?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar distância vertical mínima entre as parábolas y = x 2 + 1 e y = x - x 2 .

Se a gente chamar essa distância vertical de d , teremos o seguinte:

d = y 2 - y 1

Onde y 2 é a ordenada da parábola x 2 + 1 e y 1 é a da parábola x - x 2 . Portanto,

d = x 2 + 1 - x - x 2

Ou seja:

d = 2 x 2 - x + 1

Usando essa equação, nós conseguimos determinar o mínimo valor de d através do teste da primeira derivada (derivando e igualando o resultado a zero para encontrar os pontos críticos da função.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a nossa função d x = 2 x 2 - x + 1 , usando a regrinha da potência ( x n ' = n x n - 1 ):

d ' x = 2 ∙ 2 x 2 - 1 - x 1 - 1 + 0

Assim, temos:

d ' x = 4 x - 1

Para acharmos os pontos críticos da função, vamos igualar esse resultado a zero:

d ' x = 0

→ 4 x - 1 = 0

E isolando x , encontramos:

x = 1 4

Como d ( x ) é uma parábola com concavidade para cima, x = 1 4 é um ponto de mínimo, porque é o único ponto onde a nossa derivada zera.

Passo 3

Agora é só achar o d 1 4 para saber o valor da distância nesse ponto:

d 1 4 = 2 ⋅ 1 4 2 - 1 4 + 1

Fazendo as contas, temos:

d 1 4 = 1 8 - 1 4 + 1

d 1 4 = 7 8

Então, a distância vertical mínima entre as parábolas será 7 8 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

7 8

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