Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.6 - Ex. 31
Um fio com B metros de comprimento é cortado em duas partes. Uma parte é dobrada para formar um triangulo equilátero e a outra para forma um círculo. Se a soma das áreas delimitadas por cada parte for um mínimo, qual será o comprimento de cada parte?
Passo 1
Eu não sei você, mas a primeira vez que li esse enunciado ele me pareceu bem confuso. Rsrs
Vamos então traduzir:
Tínhamos um fio de comprimento
Cortamos ao meio e fizemos duas figuras com cada metade
E que se somarmos suas áreas era um ponto de Mínimo numa função de Área.
Começou a fazer sentido agora? Show!!!
Agora ele quer que relacionemos os perímetros de cada objeto, usando B como fator.
Então vamos resolver isso
Passo 2
Vamos então ver o Triangulo equilátero. Se chamarmos um lado seu de . Então seu Perímetro vai ser
Com uma área de
Agora já o círculo tem perímetro
E área
Então podemos relacionar esses perímetros com B
E a área total vai ser
OPA!!! Temos 2 variáveis para otimizar. Isso é um problema. Estamos em calculo 1, então só podemos usar uma variável, porque só temos ferramentas para isso agora. Então tá...Podemos então usar a relação de B, e fazer como função de e
Otimo! Agora podemos continuar.
Passo 3
Agora só nos resta otimizar.
Lembra que para fazer isso temos que derivar e igualar a zero ?
Beleza. Então vamos meter a mão na massa.
Quase acabando. Vamos só conferir se achamos a função de área certa. O problema disse que era um ponto de mínimo. Isso quer dizer que a segunda derivada tem que ser positiva nesse ponto.
Esse valor é positivo. Então estamos realmente num ponto mínimo.
Agora podemos substituir nosso valor de X nos Perímetros das nossas figuras
Vamos arrumar esse , está muito bagunçado
Beleza terminamos por aqui. Te encontro na próxima resolução. Até mais : )