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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 21

Encontre o ponto sobre a reta y = 2 x + 3 que está mais próximo da origem.

Passo 1

Eaee, belezinha??

Bom... queremos encontrar o ponto que está mais próximo da origem que está inserido na seguinte reta:

y = 2 x + 3

Para fazemos isso, basta pegarmos um ponto da reta e minimizar sua distância até a origem.

Esse conceito de minimização a gente vai ver através da derivada!!

Mas vamos com calma para podermos entender melhor!! 😉

Passo 2

Da nossa função, temos:

y = 2 x + 3

Então o ponto que queremos será o seguinte:

P = x , 2 x + 3

Calculando sua distância d até a origem, ou seja, x 0 , y 0 = 0,0 :

d = x - x 0 2 + y - y 0 2 ∴

d = x - 0 2 + 2 x + 3 - 0 2 ∴

d = x 2 + 2 x + 3 2

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Arrumando as coisas, temos:

d x = x 2 + 4 x 2 + 12 x + 9 ∴

d ( x ) = 5 x 2 + 12 x + 9

Para minimizar, vamos derivar e igualar a zero!

d ' x = 1 2 ⋅ 1 5 x 2 + 12 x + 9 ⋅ ( 10 x + 12 )

Igualando a zero para achar o ponto de mínimo:

d ' x = 0

Logo:

10 x + 12 2 ⋅ 5 x 2 + 12 x + 9 = 0

Portanto,

10 x + 12 = 0 → x = - 6 5

Logo, x = - 6 5 será um ponto de mínimo.

Passo 4

Agora é só acharmos o ponto.

P = x , 2 x + 3

x = - 6 / 5 :

P = - 6 5 , 3 5

Entendeu direitinho?? Responde Aí! 😉

Resposta

P = - 6 5 , 3 5

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