Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 73
Uma grande placa de sinalização deve conter de letreiro. Se for deixada uma margem de na base e no topo e uma margem de nas laterais, ache as dimensões da menor placa que satisfaça essas especificações.
Passo 1
Então galera, como a questão nos diz que a placa deve conter de letreiro, isto é, de área, então temos:
No qual é a largura e a altura da placa. Isolando a altura, teremos:
Como a margem é de na largura e de na altura, teremos o seguinte:
Passo 2
Agora que temos uma expressão para a área da placa, vamos derivar essa função e igualar a zero para encontrar os pontos críticos da função, ok?
É claro que o valor negativo não nos interessa, uma vez que estamos tratando de uma medida real de área. Em outras palavras, o intervalo é . Como queremos uma placa de tamanho mínimo, o que temos que fazer é derivar novamente a função e substituir o ponto crítico que encontramos para ver se, de fato, se trata de um mínimo. Pera aí, como sei que é um mínimo ou um máximo?
Para , então a concavidade do gráfico é para cima, o que implica em um mínimo.
Para , então a concavidade do gráfico é para baixo, o que implica em um máximo.
Passo 3
Botando esses conceitos em prática, teremos:
Sendo assim, concluímos que, de fato, o ponto é um mínimo que satisfaz as condições do problema. Descobrindo as dimensões, temos: