Bom, o enunciado pele para verificar quais funções crescem mais rapidamente que quando ? Quais crescem à mesma taxa que ? E quais crescem mais lentamente?

Para isso, vamos precisar lembrar da definição das taxas relativas de crescimento

Taxas de crescimento quando

Sejam ) e positivas para um x suficientemente grande.

1. f cresce mais rapidamente do que quando se

ou, de modo equivalente, se

Dizemos também que g cresce mais lentamente do que f quando .

2. f e g crescem à mesma taxa quando

onde L é finito e positivo.

1. O item a, pede para verificar a função em relação a . Vamos verificar:

Como temos uma indeterminação vamos aplicar a regra de L’Hospital:

Logo, o item a, cresce mais lentamente.

Passo 2

2. Vamos calcular o limite:

Como temos uma indeterminação vamos aplicar a regra de L’Hospital:

Logo, o item b, cresce mais lentamente

Passo 3

3. Vamos verificar:

Vamos aplicar a raiz em todo o limite:

Como temos uma indeterminação vamos aplicar a regra de L’Hospital:

Logo, o item c, cresce mais lentamente

Passo 4

4. Vamos verificar:

, pois

Portanto cresce mais lentamente

Passo 5

5. Vamos verificar:

, pois

Logo, o item e, cresce mais lentamente

Passo 6

6. Vamos verificar:

Logo, o item f, cresce mais rapidamente

Passo 7

7. Vamos verificar:

Observe que:

Então,

Logo,

Pelo Teorema do Sanduiche, afirmamos que:

Então,

Logo, o itemg, cresce mais lentamente

Passo 8

8. Verificando, temos:

Portanto, o item h, cresce a mesma taxa