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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.4 - Ex. 6

Qual das seguintes funções cresce mais rapidamente do que ln ⁡ x   quando x → ∞ ? Qual cresce à mesma taxa que ln ⁡ x ? E qual cresce mais lentamente?

  1. log 2 ⁡ x 2
  2. log 10 ⁡ 10 x
  3. 1 x
  4. 1 / x 2
  5. x - 2 ln ⁡ x  
  6. e - x
  7. l n ⁡ ( ln ⁡ x )
  8. ln ⁡ ( 2 x + 5 )

Passo 1

Bom, o enunciado pede para verificar quais funções crescem mais rapidamente que ln ⁡ x   quando x → ∞ ? Quais crescem à mesma taxa que ln ⁡ x   ? E quais crescem mais lentamente?

Para isso, vamos precisar lembrar da definição das taxas relativas de crescimento

Taxas de crescimento quando x → ∞

Sejam f ( x ) e g ( x ) positivas para um x suficientemente grande.

  1. f cresce mais rapidamente do que g quando x → ∞ se

    2. lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) =   ∞

    ou, de modo equivalente, se

    lim x → ∞ ⁡ g ( x ) f ( x ) =   0

    Dizemos também que g cresce mais lentamente do que f quando x → ∞ .

  2. f e g crescem à mesma taxa quando x → ∞

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) =   L

onde L é finito e positivo.

  1. O item a, pede para verificar a função log 3 ⁡ x   em relação a ln ⁡ x . Vamos verificar:

    2. lim x → ∞ ⁡ log 2 ⁡ x 2 ln ⁡ x

    = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x 2   ln ⁡ 2 ln ⁡ x

    = 1 ln ⁡ 2   lim x → ∞ ⁡ x 2 ln ⁡ x          

    = 1 ln ⁡ 2   lim x → ∞ ⁡ 2 ln ⁡ x   ln ⁡ x          

    = 1 ln ⁡ 2   lim x → ∞ ⁡ 2 =   2 ln ⁡ 2      

    Logo, o item a, cresce à mesma taxa que ln ⁡ x  

    Passo 2

  2. Vamos calcular o limite:

    3. lim x → ∞ ⁡ log 10 ⁡ 10 x ln ⁡ x  

    =   lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 10 x   ln ⁡ 10 ln ⁡ x

    = 1 ln ⁡ 10   lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 10   x ln ⁡ x

    = 1 ln ⁡ 10   lim x → ∞ ⁡ 10 10 x 1 x = 1 ln ⁡ 10   lim x → ∞ ⁡ 1 =   1 ln ⁡ 10    

    Logo, o item b, cresce à mesma taxa que ln ⁡ x  

    Passo 3

  3. Vamos verificar:

    4. lim x → ∞ ⁡ 1 x ln ⁡ x

    = lim x → ∞ ⁡ 1 ( x ) ln ⁡ x   = 0

    Logo, o item c, cresce mais lentamente

    Passo 4

  4. Vamos verificar:

    5. lim x → ∞ ⁡ 1 x 2 ln ⁡ x  

    lim x → ∞ ⁡ 1 xln ⁡ x   = 0

    Portanto cresce mais lentamente

    Passo 5

  5. Vamos verificar:

    6. lim x → ∞ ⁡ ( x - 2 ln ⁡ x ) ln ⁡ x   =   lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ x   - 2 = lim x → ∞   x ln ⁡ x  ⁡ - 2  

    lim x → ∞ ⁡ 1 1 x - 2 =   lim x → ∞  x ⁡ - 2 =   ∞

    Logo, o item e, cresce mais rapidamente

    Passo 6

  6. Vamos verificar:

    7. lim x → ∞ ⁡ e - x ln ⁡ x   =   lim x → ∞ ⁡ 1 e x ln ⁡ x   = 0

    Logo, o item f, cresce mais lentamente

    Passo 7

    Vamos verificar:

  7. lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( ln ⁡ x ) ln ⁡ x   =   lim x → ∞ ⁡ 1 x ln ⁡ x   1 x = lim x → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ x   = 0

    8. Logo, o item g, cresce mais lentamente

    Passo 8

  8. Verificando, temos:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( 2 x + 5 ) ln ⁡ x   =   lim x → ∞ ⁡ 2 2 x + 5 1 x =   lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 x + 5    

lim x → ∞ ⁡ 2 2 =   lim x → ∞ ⁡ 1 = 1    

Portanto, o item h, cresce à mesma taxa que ln ⁡ x  

Resposta

Crescem mais lentamente: c,d,f,g,

Crescem mais rapidamente: e

Crescem à mesma taxa: a,b,h

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