Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.10 - Ex. 6e

Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. Fazer um esboço do gráfico, comparando os resultados.

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Passo 1

Então pessoal, caso não se lembrem, por definição uma função é crescente se ela for contínua em um intervalo , derivável nesse mesmo intervalo e, por fim, se apresenta .

Por definição uma função é decrescente se ela for contínua em um intervlao , derivável nesse mesmo intervalo e ,por fim, se apresenta . Essas são as definições para intervalos crescentes e decrescentes de uma função e basta apenas isso e um pouco de intuição para resolvermos o problema, tudo jóia? Então bora lá!

Passo 2

Reescrevendo a nossa função, teremos:

Agora sim, se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

Antes de fazermos a análise dos intervalos crescentes e decrescentes da função, vamos resolver essa equação do segundo grau para facilitar nossa visualização:

Agora que descobrimos a derivada da nossa função, vamos fazer a análise para quando e quando , se liga:

À direita de temos que ;

À esquerda de temos que ;

À direita de temos que ;

À esquerda de temos que .

Como fizemos essa análise? Uma maneira eficaz é adotar um valor de qualquer à direita e à esquerda das raízes da função e ver se a função dá positiva ou negativa. Como são vários intervalos, podemos reescreve-los da seguinte forma:

Intervalos crescentes: ;

Intervalos decrescentes: .

Passo 3

Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:

Se observamos o gráfico, notaremos que, de fato, a solução algébrica que chegamos faz sentido! À esquerda de a derivada é negativa, à direita de a derivada é positiva, à esquerda de a derivada é positiva e, por fim, à direita de a derivada é negativa, assim como concluímos no passo .