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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.Exercícios Práticos - Ex. 21

Verdadeiro ou falso?

  1. (1)/(x^2) + (1)/(x^4) = O ((1)/(x^2))
  2. (1)/(x^2) + (1)/(x^4) = O ((1)/(x^4))
  3. x = o ( x + ln x )
  4. ln ( ln x ) = o ( ln x )
  5. tan^(- 1) x = O (1)
  6. cosh x = O ( e^x )

Passo 1

Bom, o enunciado pede para verificar se é verdadeiro ou falso quanto a ordem de crescimento das funções quando x -> oo ?

Mas o que seria esses “o” e “O”? Para isso, vamos relembrar as definições:

Temos uma função f de ordem menor que g quando x -> oo :

underset(x -> oo)(lim) (f ( x ))/(g ( x )) = 0

Quando isso ocorre dizemos que f é “ozinho” de g ou f = o ( g )

Show! E como verificamos se f é ozão de g . Bom, para isso, temos que fazer o seguinte:

(f ( x ))/(g ( x )) <= M

Onde M é um inteiro positivo.

E representamos f = O (g) .

Agora vamos verificar item por item. Beleza?

  1. (1)/(x^2) + (1)/(x^4) = O ((1)/(x^2))

((1)/(x^2) + (1)/(x^4))/((1)/(x^2)) = 1 + (1)/(x^2) <= 2

Quando x for suficientemente grande, portanto, o item é verdadeiro

Passo 2

b ) (1)/(x^2) + (1)/(x^4) = O ((1)/(x^4))

((1)/(x^2) + (1)/(x^4))/((1)/(x^4)) = x^2 + 1 > M

Para qualquer inteiro M sempre que x > M

Portanto, item Falso

Passo 3

c ) x = o ( x + ln x )

underset(x -> oo)(l i m) (x)/(x + ln x) = underset(x -> oo)(l i m) (1)/(1 + (1)/(x)) = 1

Portanto, f ( x ) cresce à mesma taxa que g ( x ) . Item falso

Passo 4

d ) ln ( ln x ) = o ( ln x )

underset(x -> oo)(l i m) (ln ( ln x ))/(ln x) = underset(x -> oo)(l i m) ([((1)/(x))/(ln x)])/((1)/(x)) = underset(x -> oo)(l i m) (1)/(ln x) = 0

underset(x -> oo)(l i m) (1)/(1 + (1)/(x^2)) = 1

Portanto, f ( x ) cresce mais lentamente que g (x) . Item verdadeiro

Passo 5

e ) tan^(- 1) x = O (1)

(tan^(- 1) x)/(1) <= (pi)/(2) Para todo x

Portanto, item verdadeiro

Passo 6

f ) cosh x = O ( e^x )

(cosh x)/(e^x) = (1)/(2) (1 + e^(- 2 x)) <= (1)/(2) (1 + 1) = 1

Para todo x > 0

Portanto, item verdadeiro

Resposta

  1. Verdadeiro
  2. Falso
  3. Falso
  4. Verdadeiro
  5. Verdadeiro
  6. Verdadeiro
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