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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.Exercícios Práticos - Ex. 19

f cresce mais rapidamente, mais lentamente ou à mesma taxa que g quando x → ∞ ?

  1. f x =   log 2 ⁡ x ; g x =   log 3 ⁡ x
  2. f x = x ; g x = x + 1 x
  3. f x = x 100 ; g x = x e - x
  4. f x = x ; g x = tan - 1 ⁡ x
  5. f x = csc - 1 ⁡ x ; g x = 1 x
  6. f x = sinh ⁡ x ; g x = e x

Passo 1

Bom, o enunciado pede para verificar quando f cresce mais rapidamente, mais lentamente ou à mesma taxa que g quando x → ∞ .Para isso, vamos precisar lembrar da definição das taxas relativas de crescimento

Taxas de crescimento quando x → ∞

Sejam f ( x ) e g ( x ) positivas para um x suficientemente grande.

  1. f cresce mais rapidamente do que g quando x → ∞ se

    2. lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) =   ∞

    ou, de modo equivalente, se

    lim x → ∞ ⁡ g ( x ) f ( x ) =   0

    Dizemos também que g cresce mais lentamente do que f quando x → ∞ .

  2. f e g crescem à mesma taxa quando x → ∞

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) =   L

onde L é finito e positivo.

Agora, vamos ao item a:

  1. f x =   log 2 ⁡ x ; g x =   log 3 ⁡ x

    2. lim x → ∞ ⁡ log 2 ⁡ x log 3 ⁡ x =   l i m x → ∞ ln ⁡ x   ln ⁡ 2 ln ⁡ x   ln ⁡ 3 =   l i m x → ∞ ln ⁡ 3 ln ⁡ 2 =   ln ⁡ 3 ln ⁡ 2  

    Portanto, crescem à mesma taxa.

    Passo 2

  2. f x = x ; g x = x + 1 x

    3. l i m x → ∞ x x + 1 x =   l i m x → ∞ x x 2 + 1 x =   l i m x → ∞ x 2 x 2 + 1

    Aplicando a regra de L’Hospital:

    l i m x → ∞   2 x 2 x =   l i m x → ∞ 1 = 1

    Portanto, crescem à mesma taxa.

    Passo 3

  3. f x = x 100 ; g x = x e - x

    4. l i m x → ∞ x 100 x e - x =     l i m x → ∞ x e x 100 x =   l i m x → ∞ e x 100 =   ∞

    Portanto, f ( x ) cresce mais rapidamente que g ( x )

    Passo 4

  4. f x = x ; g x = tan - 1 ⁡ x

    5. l i m x → ∞ x tan - 1 ⁡ x =   ∞

    Portanto, f ( x ) cresce mais rapidamente que g ( x )

    Passo 5

  5. f x = csc - 1 ⁡ x ; g x = 1 x

    6. l i m x → ∞ c s c - 1 1 x =   l i m x → ∞ sin - 1 ⁡ ( x - 1 ) x - 1 =   l i m x → ∞ ( - x - 2 ) 1 - x - 1 2 - x - 2

    = l i m x → ∞ 1 1 - 1 x 2 = 1

    Portanto, crescem à mesma taxa.

    Passo 6

  6. f x = sinh ⁡ x ; g x = e x

l i m x → ∞   sinh ⁡ x e x =   l i m x → ∞ ( e x - e - x ) 2 e x =   l i m x → ∞ ( 1 - e 2 x ) 2 = 1 2

Portanto, crescem à mesma taxa.

Resposta

  1. crescem à mesma taxa.
  2. crescem à mesma taxa.
  3. f ( x ) cresce mais rapidamente que g ( x )
  4. f x cresce mais rapidamente que g x
  5. crescem à mesma taxa.
  6. crescem à mesma taxa.
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