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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.8 - Ex. 14.b

14. Determinar a área entre as elipses:

(a) x^2 + 9 y^2 - 2 x - 18 y + 1 = 0 e x^2 - 2 x + 4 y^2 - 8 y + 4 = 0 .

Passo 1

Primeiro vamos organizar as equações

x^2 + 9 y^2 - 2 x - 18 y + 1 = 0

x^2 - 2 x + 1 - 1 + 9 y^2 - 18 t + 9 - 9 + 1 = 0

(x - 1)^2 + 9 (y - 1)^2 = 9

((x - 1)^2)/(9) + (y - 1)^2 = 1

x^2 - 2 x + 4 y^2 - 8 y + 4 = 0

x^2 - 2 x + 1 - 1 + 4 y^2 - 8 y + 4 = 0

(x - 1)^2 + 4 (y - 1)^2 = 1

(x - 1)^2 + ((y - 1)^2)/(1 // 4) = 1

Passo 2

Para a primeira elipse:

((x - 1)^2)/(9) + (y - 1)^2 = 1

Vamos usar a fórmula

A = (1)/(2) int_C x d y - y d x

Usando a equação paramétrica da elipse (com theta variando de 0 a 2pi)

x - 1 = 3 c o s theta -> x = 3 c o s theta + 1

d x = - 3 s e n theta d theta

y - 1 = s e n theta -> y = s e n theta + 1

d y = c o s theta d theta

Substituindo

A = (1)/(2) int_0^(2 pi) (3 c o s theta + 1) ( c o s theta d theta ) - (s e n theta + 1) (- 3 s e n theta d theta)

= (1)/(2) int_0^(2 pi) (3 ((c o s theta)^2 + (s e n theta)^2) + c o s theta + 3 s e n theta) d theta

= (1)/(2) int_0^(2 pi) 3 + c o s theta + 3 s e n theta d theta = 3 pi

Passo 3

Para a segunda elipse:

(x - 1)^2 + ((y - 1)^2)/(1 // 4) = 1

Vamos usar a fórmula

A = (1)/(2) int_C x d y - y d x

Usando a equação paramétrica da elipse (com theta variando de 0 a 2pi)

x - 1 = c o s theta -> x = c o s theta + 1

d x = - s e n theta d theta

y - 1 = (1)/(2) s e n theta -> y = (1)/(2) s e n theta + 1

d y = (1)/(2) c o s theta d theta

Substituindo

A = (1)/(2) int_0^(2 pi) (c o s theta + 1) ((1)/(2) c o s theta d theta) - ((1)/(2) s e n theta + 1) (- s e n theta d theta)

= (1)/(2) int_0^(2 pi) (1)/(2) ((c o s theta)^2 + (s e n theta)^2) + (1)/(2) c o s theta + s e n theta d theta

= (1)/(2) int_0^(2 pi) (1)/(2) d theta = (1)/(2) pi

Agora é só subtrair uma área da outra

3 pi - (1)/(2) pi = (5)/(2) pi

Resposta

(5)/(2) pi

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Se uma circunferência C de raio 1 rola ao longo do interior da circunferência x 2 + y 2 = 16 , um ponto fixo P de C descreve uma curva chamada epicicloide, com equações paramétricas x = 5 cos ⁡ t - co
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