14. Determinar a área entre as elipses:

(a) x^2 + 9y^2 - 2x - 18y + 1 = 0 e x^2 - 2x + 4y^2 - 8y + 4 = 0

Passo 1

Primeiro vamos organizar as equações

x 2 + 9 y 2 - 2 x - 18 y + 1 = 0  

x 2 - 2 x + 1 - 1 + 9 y 2 - 18 t + 9 - 9 + 1 = 0

x - 1 2 + 9 y - 1 2 = 9

x - 1 2 9 + y - 1 2 = 1

x 2 - 2 x + 4 y 2 - 8 y + 4 = 0

x 2 - 2 x + 1 - 1 + 4 y 2 - 8 y + 4 = 0

x - 1 2 + 4 y - 1 2 = 1

x - 1 2 + y - 1 2 1 / 4   = 1  

Passo 2

Para a primeira elipse:

x - 1 2 9 + y - 1 2 = 1

Vamos usar a fórmula

A = 1 2 ∫ C x d y - y d x

Usando a equação paramétrica da elipse (com theta variando de 0 a 2pi)

x - 1 = 3 c o s θ → x = 3 c o s θ + 1

d x = - 3 s e n θ d θ

y - 1 = s e n θ → y = s e n θ + 1

d y = c o s θ d θ

Substituindo

A = 1 2 ∫ 0 2 π 3 c o s θ + 1 ( c o s θ d θ ) - s e n θ + 1 - 3 s e n θ d θ

= 1 2 ∫ 0 2 π 3 c o s θ 2 + s e n θ 2 + c o s θ + 3 s e n θ d θ

= 1 2 ∫ 0 2 π 3 + c o s θ + 3 s e n θ   d θ = 3 π

Passo 3

Para a segunda elipse:

x - 1 2 + y - 1 2 1 / 4   = 1  

Vamos usar a fórmula

A = 1 2 ∫ C x d y - y d x

Usando a equação paramétrica da elipse (com theta variando de 0 a 2pi)

x - 1 = c o s θ → x = c o s θ + 1

d x = - s e n θ d θ

y - 1 = 1 2 s e n θ → y = 1 2 s e n θ + 1

d y = 1 2 c o s θ d θ

Substituindo

A = 1 2 ∫ 0 2 π c o s θ + 1 1 2 c o s θ d θ - 1 2 s e n θ + 1 - s e n θ d θ

= 1 2 ∫ 0 2 π 1 2 c o s θ 2 + s e n θ 2 + 1 2 c o s θ + s e n θ d θ

= 1 2 ∫ 0 2 π 1 2   d θ = 1 2 π

Agora é só subtrair uma área da outra

3 π - 1 2 π = 5 2 π

Resposta

5 2 π

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