16. Dado o campo vetorial , mostrar que para toda curva fechada simples C, suave por partes, orientada no sentido anti-horário que circunda a origem.
Passo 1
Como C é uma curva fechada simples que circunda a origem, é difícil calcular a integral diretamente. Vamos então considerar um círculo, percorrido no sentido anti-horário C’ com centro na orgigem e raio a, onde o a escolhido é pequeno o suficiente para que C’ esteja inteiramente contido em C. Seja D a região limitada por C e C’.
Para aplicar o teorema de green, precisamos mudar a orientação de C’, então usamos –C’
Como
Então
Agora podemos calcular essa última integral usando a parametrização do círculo
Substituindo
Resposta