16. Dado o campo vetorial f = (y / (x^2 + y^2), -x / (x^2 + y^2)) , mostrar que ∮C f(→) ⋅ d(→r) = -2π para toda curva fechada simples C, suave por partes, orientada no sentido anti-horário que circunda a origem.

Passo 1

Como C é uma curva fechada simples que circunda a origem, é difícil calcular a integral diretamente. Vamos então considerar um círculo, percorrido no sentido anti-horário C’ com centro na orgigem e raio a, onde o a escolhido é pequeno o suficiente para que C’ esteja inteiramente contido em C. Seja D a região limitada por C e C’.

Para aplicar o teorema de green, precisamos mudar a orientação de C’, então usamos –C’

∫ C f 1 d x + f 2 d y + ∫ - C ' f 1 d x + f 2 d y = ∬ R ( ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y ) d A    

Como

∂ f 2 ∂ x = ∂ f 1 ∂ y

Então

∫ C f 1 d x + f 2 d y + ∫ - C ' f 1 d x + f 2 d y = 0

∫ C f 1 d x + f 2 d y = - ∫ - C ' f 1 d x + f 2 d y

∫ C f 1 d x + f 2 d y = ∫ C ' f 1 d x + f 2 d y

Agora podemos calcular essa última integral usando a parametrização do círculo

r t = a c o s t , a s e n t ,     0 ≤ t ≤ 2 π

r ' t = ( - a s e n t d t , a c o s t d t )

Substituindo

∫ C f 1 d x + f 2 d y = ∫ C ' f 1 d x + f 2 d y

= ∫ 0 2 π a s e n t - a s e n t a 2 d t + - a c o s t a c o s t a 2 d t

= ∫ 0 2 π - ( s e n t ) 2 + ( c o s t 2 ) d t = ∫ 0 2 π - 1 d t = - 2 π

Resposta

∮ C f → ⋅ d r → = - 2 π

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