Use uma das fórmulas em (5) para achar a área sob um arco da cicloide x = t - sen ⁡ t , y = 1 - cos ⁡ t .

Passo 1

Fala aí, galerinha! Tudo tranquilo?

A questão pede para acharmos a área sob o arco da cicloide com equações paramétricas:

x = t - sen ⁡ t , y = 1 - cos ⁡ t

Usando uma das fórmulas dadas no livro como Equação 5:

A = ∮ K x   d y = - ∮ K y   d x = 1 2 ∮ K x   d y - y   d x

Aqui na nossa resolução vamos escolher a equação do meio:

A = - ∮ K y   d x

Então vamos usar as equações já parametrizadas em t do arco da cicloide que o enunciado nos deu para parametrizarmos a equação acima e calcular o valor da integral de linha.

Vamos lá!

Passo 2

A curva C no ciclo de 0 a 2 π sai do ponto ( 0,0 ) e vai até ( 2 π , 0 ) e tem todos os seus valores positivos nesse ciclo. Esboçando a curva temos algo do tipo:

Ainda temos uma curva aberta. Para fechar, vamos usar outra curva que vamos chamar de C * . A curva liga os pontos ( 0,0 ) e ( 2 π , 0 ) e coincide com o eixo x , assim a gente tem uma região fechada e faz sentido o cálculo da área.

Vamos parametrizar essa nova curva por:

r * t = t , 0 ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Para termos uma orientação positiva no cicloide, vamos ter a variação de 2 π a 0 , assim vamos estar percorrendo a curva no sentido anti-horário.

Passo 3

Então para calcular a área vamos usar C ∪ C * , vamos chamar essa curva de K , então a área pode ser dada por

A = - ∮ K y   d x

Como dividimos em duas curvas, ficamos com a soma:

A = - ∮ K y   d x = - ∫ C y   d x + - ∫ C * y   d x

Trocando nossas variáveis pelos nossos parâmetros:

  • Para C :
  • y = 1 - cos ⁡ t

    d x = d d t t - sen ⁡ t = 1 - cos ⁡ t

  • Para C * :

y = 0

Então nossa integral fica:

= - ∫ 2 π 0 1 - cos ⁡ t ⋅ ( 1 - cos ⁡ t ) d t - ∫ 0 2 π 0   d t

Como temos um menos na frente, podemos sumir com ele invertendo os limites de integração:

= ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ t 2 d t = ∫ 0 2 π 1 - 2 cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t d t

Usando:

cos 2 ⁡ t = 1 + cos ⁡ ( 2 t ) 2

Ficamos com:

= ∫ 0 2 π 1 - 2 cos ⁡ t + 1 + cos ⁡ ( 2 t ) 2 d t

Integrando em t e aplicando os limites de integração:

= t - 2 sen ⁡ t + t 2 + sen ⁡ 2 t 4 0 2 π = 2 π + 2 π 2 = 3 π

Resposta

3 π

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