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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.16 - Ex. 1g

Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da seguinte função:

f x = 2 x 2 x 2 - 16

Passo 1

Vamos procurar as assíntotas horizontais e verticais da função. Pra encontrar as horizontais, é molezinha: vamos fazer o limite da função com x tendendo ao infinito. O valor que encontrarmos será o y da reta que é a assíntota horizontal, mas se não der nenhum valor específico, não tem assíntota. Beleza, vamos começar calculando o limite para x tendendo ao infinito:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 x 2 - 16

Divididndo pela vairavel de maior grau de expoente (x²) temos:

lim x → + ∞ 2 × ⁡ x x 2 x 2 - 16 / x ²

lim x → + ∞ 2 × ⁡ x 1 - 16 / x ²

Substituindo o limite temos:

2 × ⁡ ∞ 1 - 16 / ∞

2 × ⁡ ∞ 1 - 0 = ∞

Bom, como não deu nenhum valor específico, não temos assíntotas horizontais.

Passo 2

Para a assíntota vertical, a gente vai buscar os valores que levam a função pro infinito, tanto faz se pro lado positivo ou negativo. Pra isso a gente vai catar lá nos valores que a gente vê que tem um comportamento diferente. Bom, nessa questão dá pra ver que tem alguma coisa no x = 4 e x = - 4 , né? Vamos calcular os limites nesses x então!

Para x → 4 + :

lim x → 4 + ⁡ 2 x 2 x 2 - 16 = 2 4 2 ( 4 + ) 2 - 16 = 32 0 + = + ∞

Para x → 4 - :

lim x → 4 - ⁡ 2 x 2 x 2 - 16 = 2 4 2 ( 4 - ) 2 - 16 = 32 0 -

Raiz de número negativo não rola, né, time? Mas como já tem o limite tendendo pra infinito pra x tendendo a 4 + , a assíntota já está garantida!

Então realmente, a reta x = 4 é uma assíntota vertical, porque pra esse valor a função vai pro infinito.

Para x → - 4 + :

lim x → - 4 + ⁡ 2 x 2 x 2 - 16 = 2 - 4 2 ( - 4 + ) 2 - 16 = 32 0 + = + ∞

Para x → - 4 - :

lim x → - 4 + ⁡ 2 x 2 x 2 - 16 = 2 - 4 2 ( - 4 - ) 2 - 16 = 32 0 -

De novo, raiz de número negativo não rola. Mas como já tem o limite tendendo pra infinito pra x tendendo a - 4 + , a assíntota já está garantida!

Então realmente, a reta x = - 4 é uma assíntota vertical, porque pra esse valor a função vai pro infinito.

Resposta

As assíntotas são x = 4 e x = - 4 .

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