Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 24d
Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:
d) , de a
Passo 1
A ideia nessas questões de calcular o comprimento do arco de uma curva é lembrar da formula lá da teoria, deixa eu te lembrar:
Essa formula nos dá o comprimento da curva entre os pontos e . Repare que é o modulo do vetor . Então vamos lá!
Passo 2
Para começar vamos parametrizar a expressão que ele nos deu!
, de a
Considerando :
Logo,
Agora já encontramos uma expressão para , vamos ver entre quais valores de vamos integrar. O enunciado nos pede para integrar entre os pontos a , como fizemos , vamos integrar de a .
Passo 3
Como já temos uma expressão para . Então bora derivar para acharmos !
Derivando,
Assim,
Agora que já encontramos , vamos ver como fica o modulo desse vetor!
Portanto,
Passo 4
Para finalizarmos, vamos calcular a seguinte integral:
Como estamos pegando entre os pontos e :
Para resolvermos essa integral vamos fazer substituição de variável.
Derivando,
Como fizemos uma substituição, temos que mudar os limites de integração. Assim,
Então nossa integral fica o seguinte:
Tirando o da integral:
Não esquece:quando
Passo 5
Pra finalizar, vamos resolver esse integral!
Usando o lembrete do Passo anterior:
Simplificando:
Aplicando entre os pontos e :
Arrumando dentro do parêntese:
Portanto,