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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 24g

Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:

g) um arco da cicloide r → t = 2 t - s e n t i → + 2 1 - cos ⁡ t j →

Passo 1

A ideia nessas questões de calcular o comprimento do arco de uma curva é lembrar da formula lá da teoria, deixa eu te lembrar:

l = ∫ a b r ' → t d t

Essa formula nos dá o comprimento da curva r → t entre os pontos a e b . Repare que r ' → t é o modulo do vetor r ' → t . Então vamos lá!

Passo 2

Incialmente, vamos encontrar r ' → t .

r → t = 2 t - s e n t i → + 2 1 - cos ⁡ t j →

Repare que podemos escrever da seguinte forma:

r → t = 2 t - s e n t ,   2 1 - cos ⁡ t

Derivando,

r ' → t = 2 1 - cos ⁡ t ,   2 - - s e n t

Arrumando as coisas:

r ' → t = 2 - 2 cos ⁡ t ,   2 s e n t

Passo 3

Agora que já encontramos r ' → t , vamos ver como fica o modulo desse vetor!

r ' → t = 2 - 2 c o s t 2 + 2 s e n t 2

Arrumando as coisas dentro da raiz:

r ' → t = 4 - 8 cos ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t + 4 s e n 2 t

Opa, mas essa expressão é conhecida, se liga só:

s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1

Substituindo:

r ' → t = 4 - 8 cos ⁡ t + 4

Logo,

r ' → t = 8 - 8 cos ⁡ t

Repare que podemos tirar o 8 da raiz como 2 2 :

r ' → t = 2 2 1 - cos ⁡ t

Passo 4

Para finalizarmos, vamos calcular a seguinte integral:  

l = ∫ a b 2 2 1 - cos ⁡ t d t

Como queremos apenas um arco do cicloide, vamos integrar de 0 a 2 π .

l = ∫ 0 2 π 2 2 1 - cos ⁡ t d t

Para resolvermos essa integral, vamos nos lembrar de relação lá da trigonometria:

1 - cos ⁡ t = 2 s e n 2 t 2

Substituindo na nossa integral:

l = ∫ 0 2 π 2 2 2 s e n 2 t 2 d t

Tirando o 2 da raiz e simplificando:

l = 4 ∫ 0 2 π s e n t 2 d t

Agora vamos integrar!

l = 4 × - cos ⁡ t 2 1 2 0 2 π

Aplicando entre os pontos 0   e   2 π :

l = 4 × - cos ⁡ π 1 2 - - cos ⁡ 0 1 2

Como cos ⁡ π = - 1 e cos ⁡ 0 = 1 :

l = 4 × 2 + 2

Fazendo as contas:

l = 16

Resposta

l = 16

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