Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 24f
Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:
f) hélice circular de a
Passo 1
A ideia nessas questões de calcular o comprimento do arco de uma curva é lembrar da formula lá da teoria, deixa eu te lembrar:
Essa formula nos dá o comprimento da curva entre os pontos e . Repare que é o modulo do vetor . Então vamos lá!
Passo 2
O enunciado nos pede para calcular o comprimento de entre os pontos e .Incialmente, vamos encontrar .
Derivando,
Assim,
Passo 3
Agora que já encontramos , vamos ver como fica o modulo desse vetor!
Arrumando as coisas dentro da raiz:
Opa, mas essa expressão é conhecida, se liga só:
Logo,
Isto é,
Passo 4
Para finalizarmos, vamos calcular a seguinte integral:
O enunciado nos diz para integrarmos de a . Mas o que é isso em termos de ? Se liga só:
Olhando para o termo em quando pegamos o ponto :
E para o ponto :
Passo 5
Então nossa integral fica o seguinte:
Tirando o da integral e integrando:
Aplicando entre esses pontos:
Portanto,