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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 19a

Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.

a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,   1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,   2 π

Passo 1

A curva que ele nos deu foi a seguinte:

r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,   1 + 4 s e n t

Assim,

x = 2 + 3 cos ⁡ t y =   1 + 4 s e n t

Logo,

cos ⁡ t = x - 2 3 e s e n t = y - 1 4

Lá da trigonometria a gente sabe o seguinte:

s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1

Substituindo o que achamos:

y - 1 4 2 + x - 2 3 2 = 1

Com isso, vemos que a nossa curva será uma elipse. Fazendo um esboço:

Onde o sentido positivo é o sentido anti-horário.

Passo 2

Para finalizar, ele nos pede para encontrarmos a parametrização com a orientação no sentido contrário.

r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,   1 + 4 s e n t

Repare que estamos com valores de t ∈ 0,2 π . Então para pegarmos o sentido contrário, vamos trocar t por 2 π - t . Assim,

f → t = 2 + 3 cos ⁡ 2 π - t ,   1 + 4 s e n 2 π - t

Simplificando,

f → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,   1 + 4 - s e n t

Portanto,

f → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,   1 - 4 s e n t , t ∈ 0 ,   2 π

Resposta

f → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,   1 - 4 s e n t , t ∈ 0 ,   2 π

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