Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 24c
Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:
c)
Passo 1
A ideia nessas questões de calcular o comprimento do arco de uma curva é lembrar da formula lá da teoria, deixa eu te lembrar:
Essa formula nos dá o comprimento da curva entre os pontos e . Repare que é o modulo do vetor . Então vamos lá!
Passo 2
O enunciado nos pede para calcular o comprimento de entre os pontos e .Incialmente, vamos encontrar .
Repare que podemos escrever isso da seguinte forma:
Derivando,
Passo 3
Agora que já encontramos , vamos ver como fica o modulo desse vetor!
Arrumando as coisas dentro da raiz:
Opa, mas lá da trigonometria a gente sabe o seguinte:
Portanto,
Passo 4
Para finalizarmos, vamos calcular a seguinte integral:
Como estamos pegando entre os pontos 0 e :
Tirando o da integral:
Integrando:
Aplicando entre esses pontos:
Portanto,