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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 70b

Determinar o erro decorrente de tomarmos a diferencial d z como aproximação do acréscimo ∆ z , para as seguintes situações:

a) z   = x 2 + y 2   ; ( x , y ) passando de (1,2) para (1,01;2,01).

Passo 1

A diferencial de uma função de duas variáveis, z   =   f ( x , y ) , é uma função ou transformação linear que melhor aproxima o acréscimo ∆ z da variável dependente z.

Passo 2

Pela fórmula da diferencial para funções de duas variáveis, temos que

d f = ∂ f ∂ x d x +   ∂ f ∂ y d y

∂ f ∂ x = x x 2 + y 2

∂ f ∂ y = y x 2 + y 2

Portanto,

d f = x x 2 + y 2 d x + y x 2 + y 2 d y

Como passamos do ponto(1,2) para 0 (1,01;2,01), temos ∆ x =   ∆ y = 0,01

d f 1,2 = 1 5 0,01 + 2 5 0,01 = 0,03 5 = 0,013416

Para calcularmos ∆ f precisamos nos lembrar que ele é o incremento da função

logo

∆ f =   f x + ∆ x , y + ∆ y - f x , y

= x + ∆ x 2 + y + ∆ y 2 - x 2 + y 2

Substituindo os valores de ∆ x = ∆ y = 0,01 no ponto (1,2)

= 1 + 0,01 2 + 2 + 0,01 2 - 1 2 + 2 2 = 0,013420

Passo 3

O erro é dado pela diferença entre ∆ z - d z :

Logo é dado por : 0,01342 1 - 0,013416 = 0,000005

Resposta

0,000005

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