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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 70c

Determinar o erro decorrente de tomarmos a diferencial d z como aproximação do acréscimo ∆ z , para as seguintes situações:

a) z   =   y x 2 ; ( x , y ) passando de (2,4) para (2,1;4,2).

Passo 1

A diferencial de uma função de duas variáveis, z   =   f ( x , y ) , é uma função ou transformação linear que melhor aproxima o acréscimo ∆ z da variável dependente z.

Passo 2

Pela fórmula da diferencial para funções de duas variáveis, temos que

d f = ∂ f ∂ x d x +   ∂ f ∂ y d y

∂ f ∂ x = 2 x y

∂ f ∂ y = x 2

Portanto,

d f = ( 2 x y ) d x + ( x 2 ) d y

Como passamos do ponto(2,4) para 0 (1,01;2,01), temos ∆ x = 0,1   e   ∆ y = 0 , 2

d f 2 , 4 = 16 0,1 + 4 0 , 2 = 2,4

Para calcularmos ∆ f precisamos nos lembrar que ele é o incremento da função

logo

∆ f =   f x + ∆ x , y + ∆ y - f x , y

= ( y + ∆ y ) x + ∆ x 2 - y x 2

=   y + ∆ y x 2 + ∆ x 2 + 2 x ∆ x - y x 2 = y ∆ x 2 + 2 x y ∆ x + ∆ y ∆ x 2 + 2 x ∆ y ∆ x + x 2 ∆ y  

Substituindo os valores de ∆ x = 0,1   e   ∆ y = 0 , 2 no ponto (2,4)

y ∆ x 2 + 2 x y ∆ x + ∆ y ∆ x 2 + 2 x ∆ y ∆ x + x 2 ∆ y =

= 4 0,01 + 16 0,1 + 0,002 + 4 0,02 + 4 ( 0,2 ) = 2 , 522

Passo 3

O erro é dado pela diferença entre ∆ z - d z :

Logo é dado por : 2,522 – 2,4 = 0,122

Resposta

0,122

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