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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 70a

Determinar o erro decorrente de tomarmos a diferencial d z como aproximação do acréscimo ∆ z , para as seguintes situações:

a) z   =   x 2 + y 2 ; ( x , y ) passando de (1,2) para (1,01;2,01).

Passo 1

A diferencial de uma função de duas variáveis, z   =   f ( x , y ) , é uma função ou transformação linear que melhor aproxima o acréscimo ∆ z da variável dependente z.

Passo 2

Pela fórmula da diferencial para funções de duas variáveis, temos que

d f = ∂ f ∂ x d x +   ∂ f ∂ y d y

∂ f ∂ x = 2 x

∂ f ∂ y = 2 y

Portanto,

d f = ( 2 x ) d x + ( 2 y ) d y

Como passamos do ponto(1,2) para 0 (1,01;2,01), temos ∆ x =   ∆ y = 0,01

d f 1,2 = 2 0,01 + 4 0,01 = 0,06

Para calcularmos ∆ f precisamos nos lembrar que ele é o incremento da função

logo

∆ f =   f x + ∆ x , y + ∆ y - f x , y

= x + ∆ x 2 + y + ∆ y 2 - x 2 - y 2

=   2 x ∆ x + 2 y ∆ y + ∆ x 2 + ∆ y 2 =

Substituindo os valores de ∆ x = ∆ y = 0,01 no ponto (1,2)

2 x ∆ x + 2 y ∆ y + ∆ x 2 + ∆ y 2 =

= 2 0,01 + 4 0,01 + 2 0,01 2 = 0,0602

Passo 3

O erro é dado pela diferença entre ∆ z - d z :

Logo é dado por : 0,0602 – 0,06 = 0,0002

Resposta

0,0002

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