Exercícios de Diferenciabilidade – Cálculo do Erro - Lista de Exercícios Resolvida

Verifique se a função abaixo é diferenciável em .

Seja .

a) Calcule as derivadas parciais de nos pontos tais que .

b) Calcule as derivadas parciais de em .

c) Existem e quando e são não-nulos?

d) Determine os pontos em que é diferenciável. Justifique.

Seja a função

(a) Mostre que é contínua em .

(b) Calcule e .

(c) A função é diferenciável em ? Justifique sua resposta.

Seja . Em que pontos de é diferenciável? Justifique!

Seja .

a) Calcule as derivadas parciais de nos pontos tais que .

b) Calcule as derivadas parciais de em .

c) Existem e quando e são não-nulos?

d) Determine os pontos em que é diferenciável. Justifique.

Seja . Em que pontos de é diferenciável? Justifique!

Considere a função definida por

a) Determine tal que é contínua em .

b) Sendo o valor encontrado no item , determine as derivadas parciais no ponto e verifique se é diferenciável neste ponto.

Seja

1. Determine o valor de para que seja contínua em .
2. Com o valor de obtido no item a), calcule e .
3. Decida se é diferenciável em . Justifique!

Mostre que a função

É diferenciável.

Mostre que no ponto a função

É contínua, tem derivadas parciais, mas não é diferenciável.

Seja

1. Calcule e
2. Mostre que é derivável em
3. Mostre que não é contínua.

Mostre que a função

É diferenciável.

Considere a função dada por

1. Calcule e
2. é diferenciável? Justifique.

Considere a função

Definida em

1. A função é contínua na origem?
2. Se ela não for contínua na origem podemos estender de modo que ela seja contínua em todo ?
3. Se tal extensão existe é diferenciável em ?

Seja

1. Determine as funções e , explicitando seus domínios.
2. é contínua em ? Justifique
3. é diferenciável em ? Justifique
4. é diferenciável em para ? Justifique

Seja

1. Determine as funções e , explicitando seus domínios.
2. é contínua em ? Justifique
3. é diferenciável em ? Justifique
4. é diferenciável em para ? Justifique

Sejam e .

1. Esboçe separadamente as curvas de nível de e .
2. Considere a função . Determine o Domínio de .
3. É possível estender a função a uma função : , de modo que seja contínua?
4. Caso a função do item anterior exista, ela é diferenciável ?

Considere a função .

1. Obtenha uma equação para o plano tangente ao gráfico de no ponto .
2. Use uma linearização conveniente de para obter um valor aproximado de

Seja uma função qualquer. Assinale a única afirmação verdadeira.

a) Se para todo , então é diferenciável em .

b) Se existe, então também existe.

b) Se as funções e são diferenciáveis em , então é uma função de classe em .

c) Se é uma função de classe em , então as funções e são diferenciáveis em .

d) Se , então para todo vetor unitário .

e) Se para todo , então as funções e são de classe em .

Seja a função

a) A função é contínua em ? Justifique.

b) Determine, caso exista, .

c) A função é diferenciável em ? Justifique.

Considere a função

1. Calcule e
2. é diferenciável na origem? Justifique.

Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em :

Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em :

Seja

1. Determine as funções e , explicitando seus domínios.
2. é contínua em ? Justifique
3. é diferenciável em ? Justifique
4. é diferenciável em ? Justifique

Considere a função

É correto afirmar que:

a) é contínua em , mas não é diferenciável em .

b) é diferenciável em , mas não é de classe em .

c) é de classe em , mas não é de classe em .

d) é de classe em .

e) não é contínua em .

Seja a função

(a) Mostre que é contínua em .

(b) Calcule e .

(c) A função é diferenciável em ? Justifique sua resposta.

Considere a função

É correto afirmar que:

a) é contínua em , mas não é diferenciável em .

b) é diferenciável em , mas não é de classe em .

c) é de classe em , mas não é de classe em .

d) é de classe em .

e) não é contínua em .