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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.10 - Ex. 14b

Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde a função seguinte tem concavidade voltada para cima ou para baixo.

f x =   3 x 4 - 10 x 3 - 12 x 2 + 10 x + 9

Passo 1

Por definição a concavidade de uma função pode ser analisada de acordo com a sua segunda derivada. Se f é uma função contínua em um certo intervalo [ a , b ] e derivável até 2ª ordem no intervalo ( a , b ) , temos que:

  1. Se f ' ' x > 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   a . b .
  2. Se f ' ' x < 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   a . b .

Aplicando esse conceito a nossa função, temos:

f ' x =   12 x 3 - 30 x 2 - 24 x + 10

f ' ' x =   36 x 2 - 60 x - 24

Fazendo f ' ' x > 0 , temos as seguintes desigualdades equivalentes:

36 x 2 - 60 x - 24 > 0 ⇒ 3 x 2 - 5 x - 2 > 0 ⇒ x 2 - 5 3 x - 2 3 > 0

⇒ x - 2 x + 1 3 > 0 ⇒ x < - 1 3       o u         x > 2

Logo na união dos intervalos: - ∞ , - 1 3 ∪ 2 , + ∞   ,   f ' ' x > 0 ⇒ A função é côncava para cima.

E na intersecção dos intervalos, em - 1 3 , 2     ,   f ' ' x < 0 ⇒ A função é côncava para baixo.

Passo 2

No ponto x 1 = - 1 3   e     x 2 = 2 , a concavidade muda de sentido. Logo, nestes pontos, o gráfico de f tem um ponto de inflexão.

- 1 3 , f - 1 3   e   2 , f 2   s ã o   p o n t o s   d e   i n f l e x ã o .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Analise a função trigonométrica f no intervalo especificado, enunciando onde f é crescente, decrescente, côncava para cima e côncava para baixo e dando as coordenadas x de todos os pontos de inflexão.
Encontre: (a) os intervalos onde f é crescente, (b) os intervalos onde f é decrescente, (c) os intervalos abertos onde f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos onde f é côncava para baixo e (e
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