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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.6 - Ex. 2a

Verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Em caso positivo, determinar uma função potencial para f → e o valor ∫ ( 0,0 , 0 ) ( a , b , c ) f → ⋅ d r → , onde a , b , c ∈   R

f → x , y , z = y z , x z + 8 y , x y

Passo 1

Olá amiguinhos ...

Teremos que, para que um campo vetorial ser conservativo, uma das condições é que o rotacional seja nulo. Corrigindo um possível erro que o enunciado nos dá, é que somente saberemos se o caso é afirmativo se existir a função potencial, logo não podemos confirmar antes de procurá-la. Mas vamos começar.

O rotacional é definido como

∇ × f → = d e t i ^ j ^ k ^ ∂ / ∂ x ∂ / ∂ y ∂ / ∂ z f x f y f z

= ∂ f z ∂ y - ∂ f y ∂ z i ^ - ∂ f z ∂ x - ∂ f x ∂ z j ^ + ∂ f y ∂ x - ∂ f x ∂ y k ^

Caso o rotacional for zero, seguimos o passo a passo para determinar a função potencial durante nosso exercício, ok?

Passo 2

Vamos calcular o rotacional da função dada

∇ × f → = ∂ ( x y ) ∂ y - ∂ ( x z + 8 y ) ∂ z i ^ - ∂ ( x y ) ∂ x - ∂ ( y z ) ∂ z j ^ + ∂ ( x z + 8 y ) ∂ x - ∂ ( y z ) ∂ y k ^  

= x - x i ^ - y - y j ^ + z - z k ^ = 0

E é com extrema tristeza que o rotacional de zero. Logo devemos caminhar em nosso problema e descobrir qual é a função potencial que leva ao nosso campo.

Passo 3

Dada uma função potencial, temos que a campo vetorial é definido como

∇ F = f →

Assim vamos seguir o caminho reverso para calcular nossa função potencial F .

A ideia é, quando aplicamos o gradiente , ∇ F , temos

∇ F = ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z = f →

Assim fazemos

∂ F ∂ x = y z → F = x y z + C ( y , z )

Onde C y , z é uma constante que depende somente de y e z .

A ideia é, se derivarmos o que acabamos de encontrar deveríamos obter a componente y do nosso campo. Então vamos derivar

∂ x y z + C ( y , z ) ∂ y = x z + C ' y , z = f y =   x z - 8 y

O que nos leva a conclusão de que C ' y , z = - 8 y → C y , z = - 4 y 2 + C ( z ) , ou seja, nossa constante não depende de y .

Agora se derivarmos em relação a z , devemos encontrar o valor de f z

∂ x y z - 4 y 2 + C ( z ) ∂ z = x y + C ' z = x y → C ' z = 0

E C ' z = 0 → C ( z ) = C

Assim nossa função potencial é

F =   x y z - 4 y 2 + C

Passo 4

Para calcular o trabalho, tomamos a integral

∫ A B f → ⋅ d r → = F B - F A = a b c - 4 b 2

Resposta

a b c - 4 b 2

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