Calcular ∭ T z . d V , onde T é a região interior às superfícies z = 0 e z = 4 - x 2 - y 2 , interior ao cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Enunciado

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

O nosso cilindro é delimitado superiormente pelo paraboloide a esfera e inferiormente pelo plano z=0, certo?

Então z estará entre:

Sendo assim, em coordenadas cilíndricas para facilitar a integral:

De acordo com a equação do cilindro:

Então:

Sendo assim,

Só falta nós acharmos o ângulo, mas como ambos fazem uma volta completa:

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (4) para mudar as variáveis de integração:

Resolvendo:

Sendo assim:

Aplicando na integral:

Resolvendo a integral:

Aplicando o intervalo:

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

Aplicando o intervalo:

Gostaram dessa?