Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.7 - Ex. 13
Calcular , onde T é a região interior às superfícies e interior ao cilindro
Passo 1
Bora começar?!
Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:
O nosso cilindro é delimitado superiormente pelo paraboloide a esfera e inferiormente pelo plano z=0, certo?
Então z estará entre:
E:
Sendo assim, em coordenadas cilíndricas para facilitar a integral:
De acordo com a equação do cilindro:
Então:
Sendo assim,
Só falta nós acharmos o ângulo, mas como ambos fazem uma volta completa:
Passo 2
Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (4) para mudar as variáveis de integração:
Resolvendo:
Sendo assim:
Aplicando na integral:
Resolvendo a integral:
Aplicando o intervalo:
Passo 3
Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:
Aplicando o intervalo:
Gostaram dessa?