Enunciado

Calcular ∭_T^() d V , onde T é a região delimitada por x^2 + y^2 + z^2 = a^2 , z = 0 e z = (sqrt(3))/(3) a .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

Então, o que faremos?

Vamos calcular o volume da semiesfera de 0 até o topo e subtrair do volume da semiesfera que vai de (sqrt(3))/(3) a até o topo

Em coordenadas esféricas:

z^2 = a^2 - r^2

z = sqrt(a^2 - r^2)

O raio é delimitado pelos valores de z. Quando z = 0 :

r^2 = a^2

r = +- a

E o raio irá de

0 <= r <= a

Quando z = (sqrt(3))/(3) a :

r^2 + ((sqrt(3))/(3) a)^2 = a^2

r^2 = a^2 - (3)/(9) a^2 = (2 a^2)/(3)

r = +- a sqrt((2)/(3))

E neste caso o raio irá de:

0 <= r <= a sqrt((2)/(3))

O theta é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, na esfera esse ângulo vai de 0 até 360°:

0 <= theta <= 2 pi

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração:

∭_T^() d V = ∭_T^() r . d z . d r . d theta

= int_0^(2 pi) [int_0^a (int_0^(sqrt(a^2 - r^2)) d z) r d r] d theta - int_0^(2 pi) [int_0^(a sqrt((2)/(3))) (int_((sqrt(3))/(3) a)^(sqrt(a^2 - r^2)) d z) r d r] d theta

Resolvendo a primeira integral:

int_0^(sqrt(a^2 - r^2)) d z = z = sqrt(a^2 - r^2)

int_((sqrt(3))/(3) a)^(sqrt(a^2 - r^2)) d z = z = sqrt(a^2 - r^2) - (sqrt(3))/(3) a

Sendo assim:

= int_0^(2 pi) [int_0^a (sqrt(a^2 - r^2)) r d r] d theta - int_0^(2 pi) [int_0^(a sqrt((2)/(3))) (sqrt(a^2 - r^2) - (sqrt(3))/(3) a) r d r] d theta

= int_0^(2 pi) [int_0^a (r sqrt(a^2 - r^2)) d r] d theta - int_0^(2 pi) [int_0^(a sqrt((2)/(3))) (r sqrt(a^2 - r^2)) d r - int_0^(a sqrt((2)/(3))) ((sqrt(3) a)/(3) r) d r] d theta

Vamos começar resolvendo:

int_0^(a sqrt((2)/(3))) ((sqrt(3) a)/(3) r) d r = (sqrt(3) a)/(3) xx (r^2)/(2) = (sqrt(3) a)/(6) xx (2 a^2)/(3) = (sqrt(3) a^3)/(9)

Simplificando:

int_0^(a sqrt((2)/(3))) ((sqrt(3) a)/(3) r) d r = (a^3)/(3 sqrt(3))

Resolvendo a segunda integral, sem levar em consideração agora o intervalo:

int (sqrt(a^2 - r^2)) r d r

Vamos chamar:

u = a^2 - r^2

d u = - 2 r d r -> - (d u)/(2) = r . d r

= int u^((1)/(2)) (- (d u)/(2))

= - (1)/(2) int u^((1)/(2)) d u

= - (1)/(3) u^((3)/(2))

De volta ao r:

= - (1)/(3) ( a^2 - r^2 )^((3)/(2))

Com o resultado podemos aplicar os intervalos:

int_0^a (sqrt(a^2 - r^2)) r d r = - (1)/(3) [(a^2 - a^2)^((3)/(2)) - (a^2)^((3)/(2) )]

= (a^3)/(3)

int_0^(a sqrt((2)/(3))) (sqrt(a^2 - r^2)) r d r = - (1)/(3) [(a^2 - (a sqrt((2)/(3)))^2)^((3)/(2)) - (a^2)^((3)/(2) )]

= - (1)/(3) [(a^3)/(3 sqrt(3)) - a^3] = (a^3)/(3) - (a^3)/(9 sqrt(3)) = ((3 sqrt(3) - 1) a^3)/(9 sqrt(3))

Colocando nas integrais:

= int_0^(2 pi) [(a^3)/(3)] d theta - int_0^(2 pi) [((3 sqrt(3) - 1) a^3)/(9 sqrt(3)) - (a^3)/(3 sqrt(3))] d theta

= (a^3)/(3) theta - [((3 sqrt(3) - 1) a^3)/(9 sqrt(3)) - (a^3)/(3 sqrt(3))] theta

= [(a^3)/(3) - (3 sqrt(3) a^3 - a^3 - 3 a^3)/(9 sqrt(3))] theta

= [(3 sqrt(3) a^3 - 3 sqrt(3) a^3 + 4 a^3)/(9 sqrt(3))] theta

= [(4 a^3)/(9 sqrt(3))] theta = [(4 sqrt(3) a^3)/(27)] theta

Aplicando o intervalo:

= [(4 sqrt(3) a^3)/(27)] 2 pi

= (8 pi sqrt(3) a^3)/(27)

De boas ?

Resposta

(8 pi sqrt(3) a^3)/(27)

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As integrais anteriores sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas esféricas, mas outras ordens fornecem o mesmo valor e são ocasionalmente mais fáceis de calcular. ∫ 0 1
int_0^(2 pi) int_0^((pi)/(4)) int_0^(2 pi) ( rho cos (varphi) rho^2 s e n (varphi) d rho d varphi d theta
∫ 0 3 2 π ∫ 0 π ∫ 0 1 5 ρ 3 s e n 3 ϕd ρ d ϕ d θ
∫ 0 π ∫ 0 π ∫ 0 2 s e n ( ϕ ) ρ 2 s e n ϕd ρd ϕd θ
Calcule as integrais em coordenadas esféricas: ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4∫ 0 sec ⁡ ϕ ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 s e n ϕ d ϕ d ϕ d θ