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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.6 - Ex. 13

13. Determinar o trabalho realizado pela força f → = e x + y z , x z , x y para deslocar uma partícula ao longo da intersecção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 4 e z = x 2 + y 2 do ponto A(1,1, 2 ) a ponto B( 2 ,0,   2 ).

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem para saber se é conservativo.

Sendo

f 1 = e x + y z

f 2 = x z

f 3 = x y

As derivadas

∂ f 1 ∂ y = z

∂ f 2 ∂ x = z

∂ f 1 ∂ z = y

∂ f 3 ∂ x = y

∂ f 2 ∂ z = x

∂ f 3 ∂ y = x

Como ∂ f 1 ∂ y = ∂ f 2 ∂ x = z ,   ∂ f 1 ∂ z = ∂ f 3 ∂ x = y   e ∂ f 2 ∂ z = ∂ f 3 ∂ y = x , então é conservativo.

Passo 2

Agora vamos determinar a função potencial u(x,y,z).

Temos

∂ u ∂ x = e x + y z                 1

∂ u ∂ y = x z                 2

∂ u ∂ z = x y                     3

Integrando a equação (1) em relação a x, ficamos com

u = ∫ e x + y z   d x

u = e x + x y z + a y , z

Obs: aqui a y , z é a constante de integração (ela é constante em relaçao a x)

Agora derivamos esse resultado em relação a y

∂ u ∂ y = x z + ∂ a ∂ y

Se compararmos agora com a equação (2), percebemos que

∂ a ∂ y = 0

Então a é constante em relação a y também, então podemos escrever a z .

Substituindo na expressão de u

u = e x + x y z + a z

Derivando esse resultado em relação a z

∂ u ∂ z = x y + ∂ a ∂ z

Comparando com a equação (3), temos que

∂ a ∂ z = 0

Então a é constante e igual a C.

Onde C é a constante de integração final.

Substituindo na expressão de u

u = e x + x y z + C

Por final, temos

w = ∫ C f → ⋅ d r →   = u 2 , 0 ,   2 - u 1,1 , 2

= ( e 2 + 2 × 0 × 2 + C ) - ( e 1 + 1 × 1 × 2 + C )

= e 2 - e - 2

Resposta

e 2 - e - 2

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