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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.6 - Ex. 15.b

15. Calcular o trabalho realizado pela força f → = 2 x + z + 4 i → + y 2 - 3 z - 1 j → + ( x - 3 y + z ) k → sobre uma partícula, ao longo de C, de A(2,4,2) a B(2,0,0), onde C é:

(b) a parábola y = z 2 no plano x=2.

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem para saber se é conservativo.

Sendo

f 1 = 2 x + z + 4

f 2 = y 2 - 3 z - 1

f 3 = x - 3 y + z

As derivadas

∂ f 1 ∂ y = 0

∂ f 2 ∂ x = 0

∂ f 1 ∂ z = 1

∂ f 3 ∂ x = 1

∂ f 2 ∂ z = - 3

∂ f 3 ∂ y = - 3

Como ∂ f 1 ∂ y = ∂ f 2 ∂ x = 0 ,   ∂ f 1 ∂ z = ∂ f 3 ∂ x = 1   e ∂ f 2 ∂ z = ∂ f 3 ∂ y = - 3 0 , então é conservativo.

Passo 2

Agora vamos determinar a função potencial u(x,y,z).

Temos

∂ u ∂ x = 2 x + z + 4                 1

∂ u ∂ y = y 2 - 3 z - 1                 2

∂ u ∂ z = x - 3 y + z                   3

Integrando a equação (1) em relação a x, ficamos com

u = ∫ 2 x + z + 4   d x

u = x 2 + x z + 4 x + a y , z

Obs: aqui a y , z é a constante de integração (ela é constante em relaçao a x)

Agora derivamos esse resultado em relação a y

∂ u ∂ y = ∂ a ∂ y

Se compararmos agora com a equação (2), percebemos que

∂ a ∂ y = y 2 - 3 z - 1

Integrando em relação a y, ficamos com

a = y 3 3 - 3 y z - y + a z

Substituindo na expressão de u

u = x 2 + x z + 4 x + y 3 3 - 3 y z - y + a z

Derivando esse resultado em relação a z

∂ u ∂ z = x - 3 y + ∂ a ∂ z

Comparando com a equação (3), temos que

∂ a ∂ z = z

Se integrarmos em relação a z, ficamos com

a = z 2 2 + C

Onde C é a constante de integração final.

Substituindo na expressão de u

u = x 2 + x z + 4 x + y 3 3 - 3 y z - y + z 2 2 + C

Por final, temos

∫ C f → ⋅ d r →   = u 2,0 , 0 - u 2,4 , 2

= 2 2 + 2 × 0 + 4 × 2 + 0 3 3 - 3 × 0 × 0 - 0 + 0 2 2 + C

- ( 2 2 + 2 × 2 + 4 × 2 + 4 3 3 - 3 × 4 × 2 - 4 + 2 2 2 + C )

= 4 + 8 + C - 4 - 4 - 8 - 64 3 + 24 + 4 - 2 - C

= 2 / 3

Resposta

2/3

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4. Verificar que as integrais são independentes do caminho de integração e determinar seus valores.d) ∫ - 1,0 , 0 2,2 , 3 ( d y + d z )
7. Determinar o trabalho realizado pela força conservativa f → = y z , x z , x y + 1 nos seguintes deslocamentos:(b) ao longo do arco de parábola x = y 2 - 1 , z = 2 , do ponto A(-1,0,2) ao ponto B(3,
8. Calcular ∫ C [ x x 2 + y 2 d x + y x 2 + y 2 d y ] , ao longo dos seguintes caminhos:(c) poligonal ABC com A(1,1), B(3,3) e C(4,1/4);
5. Calcular ∫ C f → ⋅ d r → , onde f → = y x 2 + y 2 , - x x 2 + y 2 , ao longo dos seguintes caminhos:d) circungerência de centro na origem e raio 4, no sentido anti-horário.
4. Verificar que as integrais são independentes do caminho de integração e determinar seus valores.g) ∫ 0,0 π , 1 e y c o s xd x + e y s e n xd y