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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.6 - Ex. 9.a

9. Calcular ∫ C f → ⋅ d r →   , onde f → = r → r → 3 , r → = x , y , z , ao longo dos seguintes caminhos:

(a) elipse x 2 4 + y 2 = 4 , z=2, uma volta completa no sentido anti-horário

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem para saber se é conservativo.

Sendo

f 1 = x x 2 + y 2 + z 2 3 2

f 2 = y x 2 + y 2 + z 2 3 2

f 3 = z x 2 + y 2 + z 2 3 2

As derivadas

∂ f 1 ∂ y = 2 x y x 2 + y 2 + z 2 5 2

∂ f 2 ∂ x = 2 x y x 2 + y 2 + z 2 5 2

∂ f 1 ∂ z = 2 x z x 2 + y 2 + z 2 5 2

∂ f 3 ∂ x = 2 x z x 2 + y 2 + z 2 5 2

∂ f 2 ∂ z = 2 y z x 2 + y 2 + z 2 5 2

∂ f 3 ∂ y = 2 y z x 2 + y 2 + z 2 5 2

Como ∂ f 1 ∂ y = ∂ f 2 ∂ x = 2 x y x 2 + y 2 + z 2 5 2 ,   ∂ f 1 ∂ z = ∂ f 3 ∂ x = 2 x z x 2 + y 2 + z 2 5 2   e ∂ f 2 ∂ z = ∂ f 3 ∂ y = 2 y z x 2 + y 2 + z 2 5 2 , então é conservativo.

Passo 2

Como a região C é uma região fechada e não contem o ponto (0,0,0), pois z=2=constante, então pelo teorema, temos que ∫ C f → ⋅ d r →   = 0

Resposta

0

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