Determinar o vetor gradiente das seguintes funções :

f(u, v, w) = u * v * w + u^2 - v^2 - w^2

Passo 1

O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais da função em um determinado ponto, denotamos o vetor gradiente da seguinte maneira

∇ f x 0 , . . x n = ∂ f ∂ x 0 , … , ∂ f ∂ x n

Este vetor tem como propriedade de suma importância ser perpendicular as curvas e superfícies de nível, portanto é extremamente importante sabermos sua representação e o que ele significa.

Passo 2

Visto isso, vamos aprender como calculá-lo

Precisamos calcular inicialmente as derivadas parciais em cada coordenada, logo segue que

∂ f ∂ u u , v , w = v w + 2 u

∂ f ∂ v u , v , w = u w - 2 v

∂ f ∂ v u , v , w = u v - 2 w

Passo 3

∇ f u , v , w = ∂ f ∂ u , ∂ f ∂ v , ∂ f ∂ w = ( v w + 2 u , u w - 2 v , u v - 2 w )

Resposta

∇ f u , v , w = ( v w + 2 u , u w - 2 v , u v - 2 w )

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