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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 58

Calcular d f 1,1   e   ∆ f 1,1 da função f x , y = x + y - x y 2   considerando ∆ x = 0,01   e   ∆ y = 1 . Comparar os resultados obtidos

Passo 1

A diferencial de uma função de duas variáveis, z   =   f ( x , y ) , é uma função ou transformação linear que melhor aproxima o acréscimo ∆ z da variável dependente z.

Passo 2

Pela fórmula da diferencial para funções de duas variáveis, temos que

d f = ∂ f ∂ x d x +   ∂ f ∂ y d y

∂ f ∂ x = 1 - y 2

∂ f ∂ y = 1 - 2 x y

Portanto,

d f = ( 1 - y 2 ) d x + ( 1 - 2 x y ) d y

No ponto (1,1)

d f 1,1 = 1 - 1 2 d x + 1 - 2 . 1.1 d y = - d y ≈ - 1

Para calcularmos ∆ f precisamos nos lembrar que ele é o incremento da função

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∆ f =   f x + ∆ x , y + ∆ y - f x , y

= x + ∆ x + y + ∆ y - x + ∆ x y + ∆ y 2 - x - y + x y 2

=   ∆ x +   ∆ y - x + ∆ x y 2 + 2 y ∆ y +   ∆ y 2 + x y 2 =

= ∆ x +   ∆ y - x y 2 + 2 x y ∆ y + x ∆ y 2 + y 2 ∆ x + 2 y ∆ y ∆ x + ∆ x ∆ y 2 + x y 2

No ponto (1,1)

= ∆ x +   ∆ y + - 2 ∆ y - ∆ y 2 - ∆ x - 2 ∆ y ∆ x - ∆ x ∆ y 2

Substituindo os valores de ∆ x = 0,01   e   ∆ y = 1

∆ x +   ∆ y + - 2 ∆ y - ∆ y 2 - ∆ x - 2 ∆ y ∆ x - ∆ x ∆ y 2

= 0,01 + 1 - 2 - 1 - 0,01 - 0,02 - 0,01 = - 2,03

Passo 3

Comparando ambos os resultados obtidos temos que o erro é dado pela diferença entre ∆ f   e   d f

Resposta

d f 1,1 = - 1

∆ f 1,1 =   - 2,03

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Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem:b) f x , y = 2 x 5 x 2 + y 2 , ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 ,x , y = ( 0,0 )
Dada a função f x , y = 2 x + y - 3 ,s ex = 1o uy = 13 ,s ex ≠ 1ey ≠ 1 a) Calcular ∂ f ∂ x ( 1 ,1 ) .b) Calcular ∂ f ∂ y ( 1 ,1 ) .c) f é diferenciável em (1, 1)?
Usando a definição, verificar que as funções dadas são diferenciáveis em R 2 :a) f x , y = 2 x 2 - y 2
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:k) f x , y = x 2 + y 2 + 1 , s ex 2 + y 210 , s ex 2 + y 2 ≥ 1
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:c) z = x y 2 x 2 + y 2