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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.7 - Ex. 14

Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados.

x = y 2 e x = 2 - y 2 ; ao redor do eixo dos y

Passo 1

Inicialmente, é importante fazer um esboço das duas curvas. Se liga nessa ilustração onde a vermelha representa x = y 2 e a azul x = 2 - y 2 :

Para acharmos os pontos de interseção, vamos fazer assim:

x = y 2 x = 2 - y 2

Substituindo a primeira na segunda:

y 2 = 2 - y 2

Logo,

y 2 = 1 →   = ± 1

Voltando na primeira equação:

x = 1

Então os pontos de interseção são os seguintes:

1,1 e 1 , - 1

Passo 2

Como estamos rotacionando em torno do eixo y vamos usar a seguinte expressão:

V = π ∫ a b f y 2 d y

Agora vamos ver como ficam as funções que definem as curvas. Para curva vermelha:

x = y 2

Assim,

f y = y 2

Já para curva azul:

x = 2 - y 2

Logo,

g y = 2 - y 2

Passo 3

Então o volume vai ficar o seguinte:

V = π ∫ - 1 1 2 - y 2 2 d y - π ∫ - 1 1 y 2 2 d y

Abrindo os termos ao quadrado:

V = π ∫ - 1 1 4 - 4 y 2 + y 4 d y - π ∫ - 1 1 y 4 d y

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Integrando:

V = π 4 y - 4 y 3 3 + y 5 5 - 1 1 - π y 5 5 - 1 1

Aplicando entre esses pontos:

V = π 4 × 1 - 4 × 1 3 3 + 1 5 5 - 4 × - 1 - 4 × - 1 3 3 + - 1 5 5 - π 1 5 - - 1 5

Logo,

V = π 8 - 8 3 + 2 5 - 2 5 π

Portanto,

V = 16 π 3

Resposta

V = 16 π 3

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