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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.7 - Ex. 19

Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 2 , da região limitada por y = 3 + x 2 , x = - 2 , x = 2 e y = 2

Passo 1

Inicialmente vamos fazer uma ilustração para entender qual é a região delimitada pelas curvas. Se liga nessa ilustração:

Analisando a figura acima, podemos ver que vamos integrar entre os pontos - 2 e 2 .

Passo 2

Como queremos calcular o volume do solido gerado pela rotação da curva em torno do eixo x = 2 :

V = π ∫ a b f x - 2 2 d x

Usando o que concluímos no Passo 1:

V = π ∫ - 2 2 3 + x 2 - 2 2   d x

Isto é,

V = π ∫ - 2 2 x 2 + 1 2   d x

Abrindo esse termo ao quadrado:

V = π ∫ - 2 2 ( x 4 + 2 x 2 + 1 )   d x

Integrando:

V = π x 5 5 + 2 x 3 3 + x - 2 2

Passo 3

Pra finalizar, vamos aplicar entre esses pontos.

V = π 2 5 5 + 2 × 2 3 3 + 2 - - 2 5 5 + 2 × - 2 3 3 + - 2

Fazendo as contas:

V = π 1 + 16 3 + 35 5 - - 1 - 16 3 - 35 5

Portanto,

V = 412 π 15

Resposta

V = 412 π 15

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