Enunciado

Determine dy.

y = t g^(- 1) ( e^(x^2) )

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função de y em x.

Primeiramente, o que é t g^(- 1) ? Vamos lá, sempre que elevamos algo a -1 determinamos a inversa, certo?

Então, t g^(- 1) nada mais é que a função inversa da tangente, a arco tangente.

Vamos reescrever a função então...

y = a r c t g ( e^(x^2) )

Ah, agora tá melhor né? Sem mais delongas, a derivada da função arco tangente é dada por:

a r c t g ( x ) ' = (1)/(1 + x^2)

É claro que isso para funções simples, no nosso caso é uma função composta e usaremos a Regra da Cadeia. Vamos derivar de fora pra dentro.

Passo 2

Derivando pela Regra da Cadeia, teremos:

y^' = (1)/(( 1 + (e^(x^2))^2 )) xx ( e^(x^2) ) '

Derivando a exponencial...

y^' = (1)/((1 + (e^(x^2))^2)) xx (e^(x^2)) xx 2 x

Resposta

Assim, a derivada final é:

d y = ((e^(x^2)) xx 2 x)/((1 + ( e^(2 x^2)))

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21) Calcule Δ y e d y para os valores dados de x e d x = Δ x . A seguir, esboce um diagrama como o da Figura 5, mostrando os segmentos de reta com comprimentos d x , d y e Δ y . y = 2 x , x = 4 , Δ x
24) Use uma aproximação linear (ou diferencial) para estimar o número dado. e - 0,015
17)(a) Encontre a diferencial d y (b) Calcule d y para os valores dados de x e d x . y = tg ⁡ x , x = π 4 , d x = - 0,1
22) Calcule Δ y e d y para os valores dados de x e d x = Δ x . A seguir, esboce um diagrama como o da Figura 5, mostrando os segmentos de reta com comprimentos d x , d y e Δ y . y = e x , x = 0 , Δ x
19) Compute Δ y e d y para os valores dados de x e d x = Δ x . A seguir, esboce um diagrama como o da Figura 5, mostrando os segmentos de reta com comprimentos d x , d y e Δ y . y = 2 x - x 2 , x = 2