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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.10 - Ex. 17

17)

(a) Encontre a diferencial d y

(b) Calcule d y para os valores dados de x e d x .

y = tg ⁡ x ,     x = π 4 ,     d x = - 0,1

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

y = tg ⁡ x

E nosso objetivo é calcular a diferencial d y dessa função para x = π 4 e d x = - 0,1 .

Tem ideia de como fazemos isso?

A diferencial de uma função é o valor infinitesimal que a função varia linearmente quando variamos um valor tambem infinitesimal do seu argumento.

Para determinar o valor infinitesimal de uma função y x temos que primeiro derivar a função em relação a x e assim vamos obter um resultado

d y d x = y '

E isolando o valor infinitesimal d y em um lado da igualdade temos

d y = y ' d x

Depois é só correr pro abraço.

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de y ...

y = tg ⁡ x ,     y ' = d tg ⁡ x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos que a derivada da tangente é dada por

y ' = sec 2 ⁡ x

Logo, a diferencial é:

d y = y ' d x

d y = sec 2 ⁡ x   d x

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Se a relação diferencial é:

d y = sec 2 ⁡ x   d x

Substituindo x = π / 4 e d x = - 0,1 , temos que

d y = sec 2 ⁡ π 4 ( - 0,1 )

d y = 2 ( - 0,1 )

d y = - 0,2

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

(a) d y = sec 2 ⁡ x   d x

(b) d y = - 0,2

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