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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.5 - Ex. 38

Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

Suponha que g x = f x sec ⁡ x , com f 0 = 8 e f ' 0 = - 2 . Então

g ' 0 = lim h → 0 ⁡ f h sec ⁡ h - f 0 h = lim h → 0 ⁡ 8 ( sec ⁡ h - 1 ) h

= 8 ⋅ d d x sec ⁡ x ​ x = 0 = 8 sec ⁡ 0 t g   0 = 0

Passo 1

Podemos calcular essa derivada aí e ver se o resultado bate com o resultado da conta que ele fez.

Vamos começar calculando g ' ( x ) . Nossa função é um produto de outras duas funções. Então para derivar, vamos usar a nossa amiga, a regra do produto:

g x = f x sec ⁡ x

g ' x = f x ' sec ⁡ x + f x sec ⁡ x '

Aí a gente pode lembrar que:

sec ⁡ x ' = t g   x sec ⁡ x

Nossa derivada fica:

g ' x = f ' x sec ⁡ x + f x   t g   x sec ⁡ x

Passo 2

Agora precisamos substituir x = 0 :

g ' 0 = f ' 0 sec ⁡ 0 + f 0   t g   0 sec ⁡ 0

A gente pode calcular:

sec ⁡ 0 = 1 cos ⁡ 0 = 1 ,     t g   0 = s e n   0 cos ⁡ 0 = 0 1 = 0

E ver que o enunciado já deu:

f 0 = 8 ,     f ' 0 = - 2

Substituindo tudo isso na nossa derivada:

g ' 0 = - 2 ⋅ 1 + 8 ⋅ 0 ⋅ 1 = - 2

Ih, deu diferente. Então essa afirmação está errada.

Se a gente olhar a continha do enunciado com cuidado, vemos que foi nessa igualdade que tudo começou a dar errado:

lim h → 0 ⁡ f h sec ⁡ h - f 0 h = lim h → 0 ⁡ 8 ( sec ⁡ h - 1 ) h

Na real, só podemos chegar até aqui:

lim h → 0 ⁡ f h sec ⁡ h - f 0 h = lim h → 0 ⁡ f ( h ) sec ⁡ h - 8 h

Essa afirmação é falsa então!

Resposta

Falsa

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Encontre f ' ( x ) : f x = sec ⁡ x - 2 t a n ⁡ ( x )
Encontre f ' ( x ) : f x = cos sec ⁡ x c o t g ⁡ ( x )
Encontre f ' ( x ) : f x = sec ⁡ x t a n ⁡ ( x )
Encontre f ' ( x ) : f x = cos ⁡ x - x c o s s e c ⁡ ( x )
Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.O Método de Newton é um procedimento para encontrar soluções exatas de f ( x ) .