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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.5 - Ex. 43i

Em cada item, determine onde f é diferenciável.

f (x) = (cos x)/(2 - s e n x)

Passo 1

Para uma função ser diferenciável em um ponto, vemos se a função é contínua no ponto e se a derivada dela é contínua nesse ponto.

Como queremos dizer onde nossa função é diferenciável, podemos ver onde isso não acontece, a partir dessas duas condições. Beleza? Vamos lá!

Passo 2

Olhando a primeira condição:

f (x) = (cos x)/(2 - s e n x)

Como isso é uma fração, sabemos que o denominador precisa ser diferente de 0 , para a função estar definida. Então:

2 - s e n x != 0

s e n x != 2

Só que seno é uma função que está sempre entre 1 e - 1 , por isso não há nenhum x que satisfaça essa inequação. Podemos então dizer que nossa f ( x ) está definida para todos os valores de x .

Passo 3

Se olharmos para a derivada, usando a regra do quociente:

f^' (x) = ((cos x)^' (2 - s e n x) - cos x ( 2 - s e n x ) ')/((2 - s e n x)^2) = (- 2 s e n x + s e n^2 x + cos^2 x)/((2 - s e n x)^2)

Temos o mesmo problema 2 - s e n x != 0 , por estarmos trabalhando com uma fração. Por isso dizemos que nossa função é diferenciável para todos os valores de x .

Resposta

f ( x ) é diferenciável para todo x

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Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Se f x = 0 tiver uma raiz, então o Método de Newton começando em x = x 1 aproximará a raiz mais próxima de x 1 .
Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.O Método de Newton pode ser usado para aproximar um ponto de interseção de duas curvas.
Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.O Método de Newton usa a reta tangente a y = f ( x ) em x = x n para calcular x n + 1 .
Encontre (d y)/(d x) :y = a r c sen ((1)/(x))
Encontre d y d x : y = t g x - 1