Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 101

Determine a área entre a curva y = 2 x 1 + x 2   e o intervalo - 2 ≤ x ≤ 2 do eixo x .

Passo 1

Perceba que inicialmente esboçar o gráfico para identificar qual a função que está acima e qual está abaixo, parece uma boa ideia. Já que pela definição

A = ∫ a b f x - g x d x

Ou seja, área da região entre as curvas, é a integral da função de cima f ( x ) menos a função de baixo g x .

Passo 2

Esboçando o gráfico da função, seja por um software, ou substituindo alguns valores em cada umas das funções para obter pontos, teremos um gráfico como esse ou parecido,

Onde, pelo que podemos ver em parte de - 2 até 0   , y = 0   é a função que está por cima , y = 2 x 1 + x 2   é a função que está por baixo e a parte hachurada é região que desejamos calcular a área. Porém a partir de   0 até 2 , isso muda e y = 2 x 1 + x 2   passar a ser a função que está por cima e     y = 0     é a função que está por baixo. Sendo assim a integral será :

∫ - 2 0 0 - 2 x 1 + x 2 d x + ∫ 0 2 2 x 1 + x 2   - 0 d x

Cujos limites de integração foram obtidos, a partir de onde a parte hachurada começa até o ponto de intersecção entre as duas curvas, como há duas áreas distintas, então haverá duas integrais.

Passo 3

Já que já encontramos a “cara” integral que para determinar a área, então vamos partir para os cálculos e ver quando essa integral vai dar. Mas para não nos confundirmos vamos calcular cada uma separadamente,

∫ - 2 0 0 - 2 x 1 + x 2 d x + ∫ 0 2 2 x 1 + x 2   - 0 d x

Resolvendo a integral 1

∫ - 2 0 0 - 2 x 1 + x 2 d x = ∫ - 2 0 - 2 x 1 + x 2 d x

Usando a regra de retirada da constante (integral da constante é a constante vezes a integral).

∫ - 2 0 0 - 2 x 1 + x 2 d x = ∫ - 2 0 - 2 x 1 + x 2 d x = - ∫ - 2 0 2 x 1 + x 2 d x

Utilizando substituição, suponha que u = 1 + x 2     então d u = - 2 x   d x ⇒ d x = 1 - 2 x d u .Além disso quando x = - 2 ⇒ u = 1 + - 2 2 = 5 e quando x = 0 ⇒   u =   1 + ( 0 ) 2 = 1 . Sendo assim

∫ - 2 0 0 - 2 x 1 + x 2 d x = - ∫ - 2 0 2 x 1 + x 2 d x = - ∫ u = 5 u = 1 2 x u . 1 2 x d u

Usando a regra de inversão do intervalo de integração

∫ - 2 0 0 - 2 x 1 + x 2 d x = - ∫ u = 5 u = 1 2 x u . 1 2 x d u = - ∫ u = 5 u = 1 1 u d u = + ∫ u = 1 u = 5 1 u d u

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo Parte II,

∫ - 2 0 0 - 2 x 1 + x 2 d x = ∫ u = 1 u = 5 1 u d u = ln ⁡ u ​ u = 1 u = 5 = ln ⁡ 5 - ln ⁡ 1 = ln ⁡ ( 5 ) - 0 = ln ⁡ ( 5 )

Logo,

∫ - 2 0 0 - 2 x 1 + x 2 d x = ln ⁡ ( 5 )

Resolvendo a integral 2

∫ 0 2 2 x 1 + x 2   - 0 d x = ∫ 0 2 2 x 1 + x 2   d x

Utilizando os mesmas regras usadas para resolver a integral 1, teremos

∫ 0 2 2 x 1 + x 2   - 0 d x = ∫ u = 5 u = 1 2 x u . 1 2 x d u = ∫ u = 5 u = 1 1 u d u

= ln ⁡ u ​ u = 1 u = 5 = ln ⁡ 5 - ln ⁡ 1 = ln ⁡ ( 5 ) - 0 = ln ⁡ ( 5 )

Portanto,

∫ - 2 0 0 - 2 x 1 + x 2 d x + ∫ 0 2 2 x 1 + x 2   - 0 d x = ln ⁡ ( 5 ) + ln ⁡ ( 5 ) = 2 . ln ⁡ ( 5 )

Resposta

Área da região entre y = 2 x 1 + x 2 , x = 2 e o eixo x   quando 2 ≤ x ≤ - 2 é igual à 2 ln ⁡ ( 5 ) .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Passe a curva dada para coordenadas polares e desenhe-a. x 2 + y 2 2 = x 2 - y 2
Passe a curva dada para coordenadas polares e desenhe-a. x 4 - y 4 = 2 x y
Passe a curva dada para coordenadas polares e desenhe-a. x 2 + y 2 + x = x 2 + y 2
Ache a área da região limitada pela curva y = sen 2 ⁡ x e pelo eixo x de x = 0 e x = π .
Nos Exercícios de 81 a 88, ache a área da região limitada pelas curvas e retas dadas. Faça uma figura mostrando a região e um elemento retangular da área. Expresse a medida da área como o limite de um