Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 51
Determine a área da região delimitada pela curva e pelo eixo das abscissas (veja a figura a seguir) para
a. .
b.
C. .
d. Que padrão pode ser reconhecido aqui? Qual é a área entre a curva e o eixo das abscissas para , sendo n um inteiro arbitrário não negativo? Justifique sua resposta.
Passo 1
A questão pede que a gente descubra a área da região delimitada pela curva, isso é o mesmo do que calcularmos a integral definida e iremos fazer isso nas letras “a”, “b” e “c”.Os resultados dessas integrais pode ou não seguir um padrão, caso a gente perceba que obedece um padrão teremos informação suficiente para responder a letra “d”.
Passo 2
Vamos resolver primeiramente a letra “a”, para isso aplicamos integral definida na função y pelos limites de x:
Resolveremos essa integral por partes como se fosse uma integral indefinida para facilitar os cálculos :
Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes:
Agora aplicamos a integral definida:
Passo 3
Agora iremos resolver a letra “b” de forma parecida de como resolvemos acima, mas mudando os valores dos limites de x:
b.
Como ja sabemos o resultado da integral indefinida apenas aplicaremos a integral definida:
O motivo de ter aparecido negativo é a posiçao da função no quadrante. Como não existe área negativa multiplicamos por:
Passo 4
Para resolver a letra “c” faremos de forma parecida de como resolvemos as duas letras acima, mas mudando os valores dos limites de x:
C.
Como ja sabemos o resultado da integral indefinida apenas aplicaremos a integral definida:
Passo 5
Agora para resolver a letra “d” é preciso observar um padrão que é seguido, se compararmos os resultado é possível notar que a area é a soma dos limites de x, por exemplo:
A area vai ser :
podemos ver que nas letras “a”,”b” e “c” o padrão de resultados aponta que:
Resposta
a.
b.
c.
d.