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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.1 - Ex. 8

Avalie a integral.

int x^2 cos m x d x

Passo 1

Esse problema tem duas partes! É preciso calma e paciência pra resolvê-lo. Vamos lá!

Para solucionarmos uma integral por partes, temos a seguinte fórmula:

int u d v = u v - int v d u

O problema já nos dá o valor de u e d v , basta calcularmos a derivada e a integral, respectivamente:

u = x^2 ; d u = 2 x d x

d v = cos m x d x ; v = (1)/(m) sin m x

Assim, podemos substituir!!

Passo 2

Calculando a integral, temos

int u d v = u v - int v d u

int x^2 cos m x d x = (1)/(m) x^2 sin m x - int (1)/(m) sin m x xx 2 x d x

Organizando...

int x^2 cos m x d x = (1)/(m) x^2 sin m x - (2)/(m) int x sin m x d x

Nessa segunda integral, precisamos de outra integração por partes, então fazemos:

u = x ; d u = d x

d v = sin m x d x ; v = - (1)/(m) cos m x

Aplicamos na nossa integral:

int x sin m x d x = - (1)/(m) x cos m x - int - (1)/(m) cos m x d x

int x sin m x d x = - (1)/(m) x cos m x + (1)/(m) int cos m x d x

Sabendo que int cos m x d x = (1)/(m) sin m x , então

int x sin m x d x = - (1)/(m) x cos m x + (1)/(m) xx (1)/(m) sin m x + C

int x sin m x d x = - (1)/(m) x cos m x + (1)/(m^2) sin m x + C

Substituindo na primeira integral que estávamos resolvendo:

int x^2 cos m x d x = (1)/(m) x^2 sin m x - (2)/(m) [- (1)/(m) x cos m x + (1)/(m^2) sin m x] + C

Logo,

int x^2 cos m x d x = (1)/(m) x^2 sin m x + (2)/(m^2) x cos m x + (2)/(m^3) sin m x + C

Prontinho!!

Resposta

int x^2 cos m x d x = (1)/(m) x^2 sin m x + (2)/(m^2) x cos m x + (2)/(m^3) sin m x + C

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