Avalie a integral.

∫ π 4 π 2 x   csc 2 ⁡ x d x

Passo 1

Esse problema é bem facinhoo! Só precisamos nos lembrar de três coisas: formulação da integral por partes, integrais e derivadas!

Para solucionarmos uma integral por partes, temos a seguinte fórmula:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

O problema já nos dá o valor de u e d v , basta calcularmos a derivada e a integral, respectivamente:

u = x                     ;                 d u = d x

d v = csc 2 ⁡ x d x                     ;                       v = - cot ⁡ x

Assim, podemos substituir!!

Passo 2

Calculando a integral, temos

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ π 4 π 2 x   csc 2 ⁡ x d x = - x   cot ⁡ x π 4 π 2 - ∫ π 4 π 2 - cot ⁡ x d x

Sabendo que ∫ cot ⁡ x d x = ln ⁡ | sin ⁡ x | + C , vamos ter

∫ π 4 π 2 x   csc 2 ⁡ x d x = - x   cot ⁡ x π 4 π 2 + ln ⁡ | sin ⁡ x | π 4 π 2

Agora é só substituir os intervalos!!

∫ π 4 π 2 x   csc 2 ⁡ x d x = - π 2   cot ⁡ π 2 - - π 4 × cot ⁡ π 4 + [ ln ⁡ sin ⁡ π 2 - ln ⁡ sin ⁡ π 4 ]

Resolvendo:

∫ π 4 π 2 x   csc 2 ⁡ x d x = - π 2 × 0 - - π 4   × 1 + [ ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 2 ]

∫ π 4 π 2 x   csc 2 ⁡ x d x = π 4 + [ 0 - ln ⁡ 2 2 ]

Usando uma propriedade para o ln ⁡ 2 2 , temos

∫ π 4 π 2 x   csc 2 ⁡ x d x = π 4 + [ 0 - ln ⁡ 2 - 1 2 ]

∫ π 4 π 2 x   csc 2 ⁡ x d x = π 4 - ( - 1 2 ln ⁡ 2 )

Logo,

∫ π 4 π 2 x   csc 2 ⁡ x d x = π 4 + 1 2 ln ⁡ | 2 |

Prontinho!!

Resposta

∫ π 4 π 2 x   csc 2 ⁡ x d x = π 4 + 1 2 ln ⁡ | 2 |

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados