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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.1 - Ex. 24

Avalie a integral.

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) x csc^2 x d x

Passo 1

Esse problema é bem facinhoo! Só precisamos nos lembrar de três coisas: formulação da integral por partes, integrais e derivadas!

Para solucionarmos uma integral por partes, temos a seguinte fórmula:

int u d v = u v - int v d u

O problema já nos dá o valor de u e d v , basta calcularmos a derivada e a integral, respectivamente:

u = x ; d u = d x

d v = csc^2 x d x ; v = - cot x

Assim, podemos substituir!!

Passo 2

Calculando a integral, temos

int u d v = u v - int v d u

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) x csc^2 x d x = [- x cot x]_((pi)/(4))^((pi)/(2)) - int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) - cot x d x

Sabendo que int cot x d x = ln | sin x | + C , vamos ter

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) x csc^2 x d x = [- x cot x]_((pi)/(4))^((pi)/(2)) + [ln | sin x |]_((pi)/(4))^((pi)/(2))

Agora é só substituir os intervalos!!

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) x csc^2 x d x = [(- (pi)/(2) cot (pi)/(2)) - (- (pi)/(4) xx cot (pi)/(4))] + [ ln |sin (pi)/(2)| - ln |sin (pi)/(4)| ]

Resolvendo:

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) x csc^2 x d x = [(- (pi)/(2) xx 0) - (- (pi)/(4) xx 1)] + [ ln |1| - ln |(sqrt(2))/(2)| ]

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) x csc^2 x d x = (pi)/(4) + [ 0 - ln |(sqrt(2))/(2)| ]

Usando uma propriedade para o ln (sqrt(2))/(2) , temos

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) x csc^2 x d x = (pi)/(4) + [ 0 - ln |2^(- (1)/(2))| ]

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) x csc^2 x d x = (pi)/(4) - ( - (1)/(2) ln 2 )

Logo,

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) x csc^2 x d x = (pi)/(4) + (1)/(2) ln | 2 |

Prontinho!!

Resposta

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) x csc^2 x d x = (pi)/(4) + (1)/(2) ln | 2 |

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Use integração por partes, juntamente com as técnicas desta seção, para calcular a integral. ∫ xa r c g t gxd x
Calcule a integral. ∫ xc o s s e cxc o t gxd x
Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável usando o gráfico da função e de sua primitiva ( C = 0 ) . ∫ x 3 2 ln ⁡ x d x
Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável usando o gráfico da função e de sua primitiva ( C = 0 ) . ∫ 2 x + 3 e x d x
Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável usando o gráfico da função e de sua primitiva ( C = 0 ) . ∫ x ² se n ⁡ 2 x d x ²