Determine a área da região sombreada.

Passo 1

Para determinar a área da região sombreada de y = f ( x ) precisamos primeiramente definir o intervalo da função f . Temos que ela é delimitada por x = pi e se inicia quando y = 2 , ou seja:

f (x) = 2 => 1 + cos x = 2 => cos x = 1 => x = 0

Logo, temos o seguinte intervalo [ 0 , pi ] .

Passo 2

Agora devemos integrar f e substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

int_0^(pi) (1 + cos x) d x = [x + s e n x] (pi)/(0) = [pi + 0] - [0] = pi

Passo 3

Por fim, a área total é obtida pela adição dos valores absolutos da integral calculada. Logo:

A = pi

Resposta

pi

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